Постулаты Эйнштейна

В основе специальной теории относительности А. Эйнштейна лежат два постулата, смысл которых можно выразить так:

1. При одинаковых условиях, реализованных по отдельности в двух системах отсчета - некоторой инерциальной системы К и системы К', движущейся равномерно и прямолинейно относительно системы I - любые физические процессы в этих системах отсчета протекают одинаково.

2. В природе существует предельная (максимальная) скорость распространения физических сигналов (взаимодействий), одна и та же во всех инерциальных системах отсчета. Эта максимальная скорость совпадает со скоростью света в вакууме, она не зависит от движения источника и приемника света и равна с = 300000 км/с.

Из первого принципа следует: если для данной задачи (некоторого класса задач) найдена инерциальная система отсчета I, то для этой задачи существует и бесчисленное множество инерциальных систем типа II, движущихся равномерно прямолинейно относительно I. Скорости всех систем II меньше с. Системы отсчета необходимо связывать с телами, а скорости тел не могут равняться или превосходить максимальную скорость света в вакууме, равную с. Скорости тел строго меньше максимальной.

Развитие науки показало, что оба принципа Эйнштейна подтверждаются всей совокупностью экспериментальных и теоретических знаний современной физики.

Из принципов Эйнштейна следует: одновременность разноместных событий не является абсолютной, независимой от систем отсчета.

Действительно, пусть от лампы L, находящейся на середине платформы, движущейся со скоростью V, начал распространяться свет.

.

Рис. 2.1. Относительность одновременности разноместных событий

Для наблюдателя, находящегося на платформе, свет дойдет до ее концов одновременно, тогда как для наблюдателя на перроне он дойдет до левого конца раньше, а до правого позже, т.к. левый конец приближается к фронту световой волны, а правый отдаляется (оба наблюдателя исходят из принципов Эйнштейна; скорость света в обоих направлениях для каждого из наблюдателей равна максимальной скорости с и не зависит от того движется или покоится источник света).

Математическое описание физических явлений требует использования системы отсчета, а значит установления взаимно однозначного соответствия между моментами времени и числами, а также между точками пространства и тройками чисел (координатами точек). Координаты точек пространства в выбранной системе отсчета в принципе можно установить "перекладыванием" единичного масштаба (практическая сторона процедуры нас здесь не интересует). В качестве единицы длины можно взять, например, определенное число длин волн излучения атомов некоторого элемента в состоянии покоя. рассматриваемой системе отчета. Эталоном времени может быть некоторое число периодов излучения тех же неподвижных атомов. Что касается арифметизации времени (то есть приписывания различным моментам времени численных значений), то ее можно осуществить в принципе следующим мысленным экспериментом. Пусть мы располагаем неограниченным количеством идеально правильно равномерно идущих часов. Пусть в инерциальной системе отсчета I по часам, находящимся в начале координат О (эти часы называются базовыми) в момент t₁, послан световой сигнал. Согласно второго принципа Эйнштейна, свет придет в некоторую точку М системы I в момент , где L = ОМ. Если для любого t₁ часы в точке М в момент прихода сигнала показывают именно такое время , то это означает, что течение времени в точке М согласовано (синхронизовано) с временем базовых часов. Синхронизованные часы, находящиеся в точке М, идут правильно, и тем самым нами введено "местное время" для этой точки. Теперь будем считать, что во всех точках системы I "расставлены" неподвижно (в этой cистеме) правильно идущие часы. Тем самым время введено для всей инерциальной системы I. В итоге и пространство, и время системы I арифметизированы.

В дальнейшем рассмотрении две инерциальные системы отсчета будем обозначать система I и система II и считать их движущимися друг относительно друга так, как это показано на (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Взаимное расположение двух движущихся инерциальных систем отсчета

Поскольку все инерциальные системы равноправны, аналогично арифметизируется пространство и время также и системы II. При этом, с каждой точкой системы II связываются неподвижно часы, принадлежащие именно этой системе II; все эти часы идут одинаково с базовыми часа своего начала О системы II.

В итоге, с каждой из систем I и II связаны неподвижные в этих системах часы. Часы системы II движутся относительно часов системы I со скоростью V, Здесь и всегда дальше предполагается, что система II движется со скоростью относительно системы I в направлении оси абсцисс Х. Остается только согласовать выбор начал отсчета времени в системах 1 и II между собой. Принимается условие: когда декартовы оси обеих систем I и II совмещались, базовые часы начал координат в обеих системах должны были показывать одинаковое время: t = 0 (в системе I) и также t = 0 (в системе П).

Посредством указанных мысленных операций арифметизация пространства и времени проведена, таким образом, в обеих системах отсчета I и П на основании принципов Эйнштейна. Теперь физические события и процессы доступны для изучения с использованием либо системы I, либо системы II. Связь между координатами и временем какого-либо события в системе I и соответствующими параметрами в системе II определяется преобразованиями Лоренца.

1.3. Преобразования Лоренца

Физический процесс - это последовательность событий. Событие определяется местом (координатами), где оно произошло, и моментом времени, когда оно произошло.

Пусть координаты некоторого события в системе отсчета I равны , а в системе II они . Установим связь между ними, исходя из принципов Эйнштейна.

Искомая связь должна быть линейной т.к. закон инерции подтверждается при всех скоростях, вплоть до максимальной скорости с (движение по прямой линии в системе I остается таковым и в системе П). Поэтому форма связи должна быть следующей:

(1.1)

Здесь учтено, что и в одном случае обращаются в нуль вместе (нулю равны координаты точки О' системах II и I соответственно); то же относится к х и (точка О). Множитель в обеих формулах один и тот же, т.к. системы I и II совершенно равноправны. Координаты y и z не меняются, т.к. в направлении осей y и z движение систем отсутствует.

Формулы (1.1) относятся к любым событиям, но множитель a можно определить, разумеется, рассматривая какое-либо частное событие. Для определения , рассмотрим распространение света в направлении оси абсцисс от начала координат - приход света в точку х₁ в момент t₁ (в системе I), что также означает приход его в точку х₁' в момент t₁' (в системе П).

В соответствии со вторым принципом Эйнштейна, путь света в системе I и II равен

(1.2)

Еще два равенства должны выполняться на основе формул перехода (1.1)

(1.3)

Если последние два равенства перемножить и заменить на основании (1.2) через , то, после сокращения на , получим откуда

(1.4)

Подставляя найденное значение (в формулы (1.1), получим

(1.5)

Из второй формулы легко определить (после замены на основании первой формулы) и тогда окончательно имеем

(1.6)

Такова связь между координатами (включая время) одного и того же события в двух инерциальных системах отсчета I и II (штрихованная система 1 движется относительной не штрихованной I со скоростью V в направлении оси х). Формулы (1.6) известны в науке как преобразования Лоренца. Вся физическая теория (механика, электродинамика и др.) подлежала после их открытия перестройке - такой, чтобы связи (1.6) были учтены. Это было осуществлено в специальной теории относительности (сначала в электродинамике Эйнштейном; позже - в механике).

Из формул (1.6) в частности следует: одновременные, но происходящие в разных точках пространства, события в системе I не являются таковыми в системе II. Действительно, если , то для одного и того же t имеем

то есть .

И еще, в момент совмещения осей систем I и II только базовые часы имеют одинаковые показания, а именно ; в любой другой точке, отличной от начал координат, показания находящихся там часов неодинаковы. Действительно, если , но , то

в системе I , а в системе II .

Если разрешить равенства (1.6) относительно не штрихованных координат (это означает переход II >I), то получим

Эти формулы отличаются от (1.6) только тем, что штрихованные и не штрихованные координаты поменялись местами, а скорость (+V) заменена на (- V), что вполне понятно - системы I и II равноправны и I движется относительно II со скоростью (- V).

Если , то формулы (1.6) преобразований Лоренца вырождаются и принимают вид

Это известные в ньютоновой механике преобразования Галилея. С ними связано представление об абсолютном времени, одинаково текущем во всех системах отсчета (одновременность событий абсолютна - относится ко всем системам отсчета).

Преобразования Лоренца знаменуют в науке новый этап в познании метрических свойств пространства и времени, более глубоких, чем те, которые сложились постепенно в грубом человеческом опыте и отражены в ньютоновой механике. Неудивительно поэтому, что из преобразований Лоренца вытекают кинематические следствия, которые не согласуются со "здравым смыслом". Рассмотрим два основных из них.

1.4. Кинематические следствия из преобразований Лоренца

Рассмотрим линейку, неподвижную в I, размещенную параллельно оси абсцисс. Длина линейки , где и - координаты концов линейки в этой системе I.

В системе II длина этой линейки , где и следует брать в один и тот же момент . По преобразованию Лоренца

Вычитая, находим

Длина предмета в системе отсчета, в которой он покоится, называется собственной длиной (здесь - ). Она наибольшая. В системе, относительно которой линейка движется, она короче , и тем короче, чем больше ее скорость V. Следовательно, длина не является понятием абсолютным (безотносительным к системам отсчета), как принимается в ньютоновой механике.

Пусть в неподвижной точке системы II произошли два события: первое - в момент , второе - в момент . Промежуток времени между этими событиями . По формулам Лоренца

Вычитая значения моментов времени , находим

Видно, что здесь больше, чем . В системе отсчета, в которой часы покоятся, промежуток времени наименьший. Его называют собственным временем. Иногда этот результат выражают словами: в движущемся теле процессы замедляются.

Примечание 1. В ньютоновой механике сложение скоростей в данной системе отсчета производится по правилу параллелограмма. В СТО это правило также имеет место, если пользоваться только одной отдельно взятой инерциальной системой, а не переходить из одной ИСО в другую, движущуюся.

Примечание 2. При рассмотрении конкретных вопросов полезным бывает следующее представление. В каждой точке пространства имеется двое часов: одни принадлежат системе отсчета I (часы неизменно связаны с системой I), другие " системе II. Движущееся по траектории тело (точка) непрерывно "проходит" по упомянутому множеству часов. Их показания и (каждый раз в месте нахождения движущегося тела) и есть время, входящее в функции координат и также . При этом, разумеется, все часы системы I идут синхронно с базовыми часами в начале О этой системы I, а часы системы II - синхронно с базовыми в начале O' системы П, движущейся относительно I со скоростью V вместе со всеми своими часами.

1.6 Интервал между событиями и собственные параметры частиц

Начальным элементом кинематики является элементарное перемещение точки, определяемое тройкой величин , геометрические свойства которой обуславливают свойства многих последующих звеньев цепочки. Свойства эти заключаются в том, что при повороте осей декартовой системы координат, величины переходят в новую тройку по правилу преобразования координат точек пространства - как проекции направленного отрезка. Если для удобства записи обозначить через , то правило преобразования координат при повороте осей дается таблицей

	X1	X2	X3

где штрихами обозначены новые (после поворота осей) координаты, а -косинусы углов между осями: i-й новой и k-ой старой (до поворота), .

Пользуясь таблицей, легко выразить новые значения координат через старые и наоборот:

(1.9)

Сокращенно эти формулы записываются в виде (для i=1,2,3 и k=1,2,3)

или, в предложенном Эйнштейном виде:

где опускается знак суммирования и принимается условие: по индексу, который повторяется, берется сумма, то есть i,k = 1,2,3.

Учитывая, что такой же закон преобразования (1.9) сохраняется и для многих последующих звеньев логической цепочки (для перемещения, скорости, ускорения, силы, количества движения и пр.), в физике вводят понятие трехмерного вектора.

Всякая трехкомпонентная физическая величина (), составляющие которой преобразуются при повороте декартовых осей так же, как декартовы координаты точек, называется трехмерным вектором и обозначается одной буквой со стрелкой над ней: или просто (сокращенно: 3-вектор).

В соответствии с приведенным определением, компоненты 3-векторов классической механики преобразуются при повороте осей декартовой системы координат по формулам

,

(1.10)

где - компоненты до поворота осей, а - после.

Рассмотрим подробнее логическую цепочку, на основе которой строится ньютонова механика. Эта цепочка состоит из нескольких частей. В самом начале на основе изменения радиус-вектора точки вводится элементарное ее перемещение ; вслед за ним - скорость , т.е. вектор , затем ускорение , вектор .

Теперь необходимо пройти такой же путь, насколько это возможно, на новой логической основе, опираясь на постулаты Эйнштейна и вытекающие из них преобразования Лоренца. Нужно будет обобщить как сами физические величины, так и связи между ними с учетом достигнутого уровня современной экспериментальной физики.

Ньютонова механика строится на известных представлениях о свойствах пространства и времени. Важнейшее из них - инвариантность расстояний между точками пространства при повороте осей декартовой системы, (в развернутом виде это равенство имеет вид ) и также инвариантность времени, (выполняется во всех системах отсчета). Эти инварианты свойственны также и переходу I® II как при , так и при , что означает сохранение длины трехмерного вектора перемещения и интервала времени между событиями.

В теории относительности оба эти инварианта также имеют место, но лишь при параллельном сдвиге и повороте осей системы отсчета; они не выполняются при переходе I® II, когда система II движется относительно I. Однако, как оказалось, из преобразований Лоренца следует инвариантность некоторой комбинированной пространственно-временной физической величины при переходе от инерциальной системы отсчета I к равномерно движущейся относительно нее системе II. Упомянутая величина называется интервалом между двумя событиями. Преобразования Лоренца и интервал играют определяющую роль в отношении свойств пространства и времени в СТО.

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета I произошли два события и . Интервалом между этими событиями называется физическая величина , квадрат которой в системе I равен

(1.11)

В соответствии с этим определением, в системе отсчета II, которая движется со скоростью V направлении оси абсцисс, квадрат интервала между теми же событиями равен

Докажем, что , т.е., что численное значение интервала между двумя любыми событиями одно и то же (в системе П. числено оно такое же, как в системе I). Поскольку и , то достаточно доказать усеченное равенство

Воспользуемся преобразованиями Лоренца для дифференциалов (они не отличаются от преобразований для координат, поскольку эти последние преобразования линейные)

и составим разность

Это равенство и доказывает инвариантность интервала.

Итак, в СТО при повороте декартовых осей (и параллельном их сдвиге) инвариантами являются квадрат расстояния dx²+dy²+dz² и время dt по отдельности. Но при переходе от системы I к движущейся системе II инвариантом является квадрат интервала ds² =c²dt² -dx² -dy² -dz², тогда как значения расстояния и промежуток времени по отдельности не сохраняются. Инвариантность интервала между двумя событиями - это математическое выражение постоянства скорости света в любой системе отсчета.

Если , то интервал называется светоподобным, если - мнимый. , ингервал называется пространственноподобным, и при вещественном - времениподобным. Для пространственноподобных интервалов можно всегда указать такую систему отсчета, где два события происходят одновременно. Причинная связь между двумя со-бытиями возможна только, если интервал между ними времениподобный.

Из инвариантности интервала следует инвариантность еще одной важной физической величины - собственного времени движущегося тела. Это понятие дает возможность построения всей цепочки мер движения в СТО, а значит и построения всей теории вообще.

Собственным временем частицы называется время, которое измеряется по часам, связанным с движущейся частицей. Для пояснения приведем простой пример: время, измеренное по часам движущейся произвольно ракеты, - это и есть собственное время ракеты (команды, находящейся в ракете).

Пусть мгновенная скорость частицы в некоторой ИСО I есть . В этой инерциальной системе I приращения координат и времени для частицы равны и , а в системе координат, в которой частица в данный момент покоится, приращения координат и времени суть и .

Инвариантное значение квадрата интервала представляется в виде

(1.12)

откуда

где dl - путь частицы в системе I, - мгновенная скорость частицы.

Окончательно

(1.13)

где V - скорость частицы в ИСО I.

Время - это и есть собственное время движущейся частицы. Оно измерено в системе отсчета, в которой частица неподвижна в данный момент (эта система принимается инерциальной в течение элементарного промежутка времени). Важным свойством собственного времени есть его инвариантность при преобразованиях Лоренца, что видно из (7.12): . По аналогии с собственным временем собственными параметрами частицы называют их значения, измеренные в той системе отсчета, где тело покоится. К ним относятся, в частности, собственная длина и собственная масса (масса покоя). В соответствии с первым постулатом Эйнштейна эти собственные параметры одинаковы во всех ИСО.

Дата добавления: 2014-01-04