Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Электрическое поле. Теорема Остроградского-Гаусса

1. Два одинаковых проводящих шара находятся на расстоянии 60 см. Сила отталкивания шаров равна 70 мкН. После того как шары привели в соприкосновение и удалили друг от друга на прежнее расстояние, сила отталкивания возросла и стала равной 160 мкН. Вычислить заряды, которые были на шарах до их соприкосновения. Диаметр шаров считать много меньше расстояния между ними. Сделайте чертёж: проведите горизонтальную пунктирную линию, длиной ~ 6 см; на концах её проведите окружности радиусом ~ 5 мм (почему одинаковые?); не забудьте, шарики заряжены, например, зарядами + q1 и + q2 (почему можно взять одинаковые по знаку заряды?); отобразите на чертеже направление сил отталкивания. Запишите аналитическое выражение для силы кулоновского отталкивания в данной ситуации. Сделайте ещё один чертёж: приведите шарики в соприкосновение (нарисовали, что происходит с зарядами на шариках?); отобразите это на чертеже. Сделайте третий чертёж: шарики разведены на прежнее расстояние (почему?); не забудьте отобразить на чертежё удалённость шариков и их заряд; запишите аналитическое выражение, отображающее взаимодействие шариков. Получили три аналитических выражения: два отображают закон Кулона для взаимодействующих зарядов в различных ситуациях, третье – закон сохранения электрического заряда (второй рисунок). Спрашивать не запрещено. Удачи в преобразованиях.

2. В трёх вершинах прямоугольника со сторонами 3 и 4 см расположены заряды 20 нКл, 0,45 нКл и –10 нКл. Определить напряжённость и потенциал электростатического поля в четвёртой вершине прямоугольника. Сделайте чертёж: нарисуйте прямоугольник, воспользуйтесь указанными значениями; поместите в вершинах заряды, введите их обозначение. Уточните понятие напряжённости; мысленно поместите в четвёртую вершину пробный электрический заряд (+ qо) и нарисуйте направление вектора напряжённости для первого заряда, не забывая, как взаимодействуют соответствующего знака заряды. Проделайте такого рода действия с остальными зарядами. Аналитическое выражение для вектора напряжённости электрического поля можно найти в записях или в учебнике; найдите сумму векторов напряжённости. Для нахождения потенциала электростатического поля уточните: его понятие и аналитическое выражение; как находится потенциал системы зарядов. Спрашивать не запрещено.

3. Два электрона, находятся на большом расстоянии друг от друга. Вначале один электрон неподвижен, а другой приближается к нему с начальной скоростью uо, направленной вдоль соединяющей электроны прямой. На какое минимальное расстояние они сблизиться? Сделайте чертёж: пусть слева вдоль прямой движется электрон; в начальный момент его скорость задана, а электрон справа покоится. Движущийся слева электрон сближается с покоящимся электроном; учтите взаимодействие одноимённых электрических зарядов, отобразите направление сил на рисунке и запишите аналитическое выражение для взаимодействующих точечных зарядов; как будет изменяться сила взаимодействия зарядов? Когда, при каком условии прекратится процесс изменения скорости взаимодействующих электронов? Отобразите на рисунке. Можно переходить к записи аналитических выражений, отображающих происходящее: система замкнутая, запишите закон сохранения импульса; здесь не забудьте слова «минимальное расстояние»; какой смысл заключён? Не значит ли это – расстояние не изменяется? Почему? Не помешает закон сохранения энергии (не только механической, но и электростатической). Запись решения не единственная.



4. Электрическое поле создано прямой бесконечной равномерно заряженной нитью с линейной плотностью заряда 0,3 мкКл/м. Определить поток вектора электрического смещения через прямоугольную площадку, две большие стороны которой параллельны заряженной нити и одинаково удалены от неё на расстояние 20 см. Стороны площадки равны а = 20 см, b = 40 см. Сделайте чертёж: проведите вертикальную линию ~ 6 см, продлите её вверх и вниз пунктиром, что будет обозначать бесконечно длинную нить; поставьте около неё + t – нить заряжена с линейной плотностью. Нарисуйте силовые линии: на расстоянии от нити ~ 1 см мысленно расположите пробный положительный заряд; как взаимодействуют одноимённые заряды? знаете, следовательно, силовые линии заряженной нити направлены стрелками от неё, провели? У верхней точки сплошной линии, отображающей заряженную нить, перпендикулярно к ней пунктиром проведите линию влево и вправо по 2 см; из этой же точки вниз по сплошной линии найдите точку на расстоянии 1 см и вверх – 0,7 см; соедините эти точки в окружность (такой она видится в изометрическом представлении); ближнюю (нижнюю) часть окружности проведите утолщённой; чтобы убедится в справедливости такого действия, посмотрите на книгу с торца, ближняя часть её утолщённая, тогда как удалённая видится в виде линии. Такую же операцию проделайте на сплошной линии ниже верхней точки на 4 см. Вернитесь к верхней точке; найдите на расстоянии 1,7 см от заряженной нити пересечение с нижней (ближней) частью проведённой окружности, отметили точку?; на верхней (удалённой) части окружности найдите точку, отстоящую от заряженной нити на расстоянии 0,7 см; соедините эти точки. Получили сторону площадки, равную 3 см. Из найденных точек верхней окружности проведите линии, параллельные заряженной нити, до пересечения с нижней окружностью. Точки пересечения с нижней окружностью соедините, получите площадку со сторонами 3 и 4 см. Можно уточнять понятие потока вектора электрического смещения, нашли аналитическое выражение? Напряжённость электрического поля бесконечно заряженной нити легко поддаётся нахождению; внимательнее в преобразованиях, в том числе и в выражении элементарной площади.

5. Точечный заряд величиной 25 нКл находится в поле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиусом 9 см, равномерно заряженным с поверхностной плотностью заряда 0,4 нКл/м2. Определить силу, действующую на заряд, если он удалён на расстояние 25 см от оси цилиндра. Каково значение потенциала поля в данной точке? Сделайте чертёж: нарисуйте вертикальный цилиндр, например, высотой ~ 6 см, посередине цилиндра проведите пунктиром ось, проведя её вниз и вверх несколько больше, чем сам цилиндр, что будет обозначать – цилиндр бесконечно длинный. На цилиндре следует отметить, что он заряжен, например, положительно (+) с поверхностной плотностью s. Найдите точку, удалённую от оси цилиндра на расстояние, указанное в условии задачи и поместите туда точечный заряд соответствующий указанной величине. Нарисуйте силовые линии электростатического поля цилиндра; придётся взять (мысленно) точечный заряд и поместить его в точку, заданную условием задачи; как взаимодействуют одноимённые заряды, знаете, следовательно, силовые линии направлены от поверхности цилиндра. Можно уточнять понятие силы в однородном электрическом поле; аналитическое выражение записали? Величина напряжённости однородного бесконечного цилиндра легко поддаётся нахождению. При нахождении потенциала поля в данной точке, уточните его взаимосвязь с напряжённостью электрического поля. Придётся интегрировать. Спрашивать не запрещено.

6. Тонкая квадратная рамка равномерно заряжена с линейной плотностью заряда 200 пКл/м. Определить напряжённость и потенциал поля в точке пересечения диагоналей. Сделайте чертёж: нарисуйте квадрат, например, со стороной ~ 3 см; каждая сторона имеет одинаковый заряд, равный произведению линейной плотности заряда на длину стороны, записали аналитически? если найти напряжённость электрического поля, создаваемого одной стороной, то результирующая напряжённость электрического поля в центре квадрата может быть найдена как векторная сумма напряжённостей всех сторон. Для нахождения напряжённости одной стороны квадрата, нарисуйте её отдельно и проведите перпендикуляр к её середине; длина перпендикуляра равна половине длины стороны квадрата (почему?) и отметьте точку, где требуется определить напряжённость поля. Выделите элемент длины стороны (dℓ), что позволит записать элементарный заряд (dq) через линейную плотность (t) и создаваемый в точке перпендикуляра вектор напряжённости dE (аналитически записали?); расстояние (r) от элементарного заряда до точки, где требуется найти напряжённость электрического поля, может быть выражено через длину перпендикуляра (h) и угол между r и h. При записи dE^ не забудьте, что это проекция dE на направление нормали к стороне квадрата. При нахождении потенциала в указанной точке, учтите его взаимосвязь с вектором напряжённости. Трудно, спросите. Помогут.

7. Плоская квадратная пластина со стороной 10 см находится на некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряженной плоскости с плотностью заряда 1 мкКл/м2. Плоскость пластины составляет угол 30о с линиями поля. Найти напряжённость электрического поля, создаваемого заряженной плоскостью и поток электрического смещения через пластину. Сделайте чертёж: проведите вертикальную линию ~ 6 см, из её верхней токи под углом 45о проведите волнистую линию длиной ~ 6 см. Из конца это линии проведите вертикалью линию такой же длины и соедините её с первой линией – получилась бесконечно заряженная плоскость. Поставьте в одном из её углов, например, + s; это будет обозначать, что бесконечная плоскость несёт положительный заряд. Нарисуйте силовые линии этой плоскости, не забывая, что она бесконечно большая. Для определения направления силовых линий, мысленно поместите положительный точечный заряд на некотором расстоянии от плоскости; как он будет взаимодействовать с заряженной плоскостью? Учитывая взаимодействие одноимённых зарядов, нарисовали линии напряжённости? Они будут совпадать с направлением силы взаимодействия. Для нахождения вектора напряжённости можно воспользоваться теоремой Остроградского-Гаусса или готовым выражением; сделайте выбор сами. Для нахождения потока электрического смещения, уточните его смысл. Чтобы не потерять заданный угол, отобразите на рисунке положение квадратной пластины, что лучше сделать при наблюдении сверху; нарисовали. Удачи в преобразованиях.

8. Тонкий стержень согнут в кольцо радиусом 10 см. Он равномерно заряжен с линейной плотностью заряда 800 нКл/м. Определить напряжённость и потенциал в точке, расположенной на оси кольца на расстоянии 10 см от его центра. Сделайте чертёж: нарисуйте вертикальную линию длиной ~ 3 см; через верхнюю точку под углом ~ 45о к горизонту проведите прямую линию ~ 2 см длиной; то же проделайте с нижней точкой; концы проведённых линий соедините между собой. Проведите в полученной фигуре окружность; ближнюю линию окружности сделать более яркой, утолщённой. В центр этой окружности проведите перпендикуляр, длина которого задана условием задачи. Для нахождения вектора напряжённости данной системы можно воспользоваться известным выражением или дифференциально-интегральным исчислением; выберите удобный путь. Для нахождения потенциала в заданной точке, учтите его взаимосвязь с вектором напряжённости. Придётся интегрировать. Спрашивать не запрещено.

9. Бесконечно длинная тонкостенная металлическая труба радиусом 2 см несёт равномерно распределённый по поверхности заряд. Поверхностная плотность заряда 1 нКл/м2. Определить напряжённость и потенциал электрического поля в точках, отстоящих от оси трубы на расстояниях 1 см и 3 см. Чему равна разность потенциалов между этими точками? Построить графики зависимости напряжённости и потенциала от расстояния. Сделайте чертёж. Нарисуйте вертикальный цилиндр: начните, например, с прямоугольника высотой ~ 4 см и радиусом 1 см, посередине прямоугольника проведите пунктиром ось; продлите её вниз и вверх несколько больше, чем сам прямоугольник, что будет обозначать – он бесконечно длинный. Чтобы прямоугольник был похож на цилиндр верхнюю и нижнюю линию его разделите пополам. Вверх отложите по три, а вниз по пять мм и через эти точки проведите окружности. Пунктирная линия означает – цилиндр уходит в бесконечность. На цилиндре следует отметить, что он заряжен, например, положительно (+) с поверхностной плотностью s. Нарисуйте силовые линии электростатического поля цилиндра; придётся взять (мысленно) точечный заряд и поместить его в точку, заданную условием задачи; как взаимодействуют одноимённые заряды знаете, следовательно, силовые линии направлены от поверхности цилиндра (можете реализовать на рисунке). Найдите точки, удалённые от оси цилиндра на расстояние, указанное в условии задачи и укажите в них направление вектора напряжённости электрического поля. Можно уточнять понятие напряжённости электростатического поля бесконечной нити (цилиндра); записали аналитическое выражение? Лучше воспользоваться теоремой Остроградского-Гаусса. Величина напряжённости однородного бесконечного цилиндра легко поддаётся нахождению. При нахождении потенциала поля в указанных точках, уточните его взаимосвязь с напряжённостью электрического поля. Придётся интегрировать. Спрашивать не запрещено. Помогут.

10. Определить напряжённость и потенциал электрического поля в точке, удалённой от зарядов q1 = –0,2 мкКл и q2 = 0,5 мкКл на расстояния 15 и 25 см соответственно. Сделайте рисунок: проведите прямую линию (горизонтальную) ~ 2 см; слева поместите в заряд q1, справа q2 (обозначьте их знаки). Поскольку не обозначено расстояние между зарядами, можно принять решение, что все действия осуществляются на прямой, проходящей через заряды. От заряда q1 влево отложите первое расстояние, а от заряда q2 – второе расстояние; почему так можно сделать, найдите в тексте задачи. Можно уточнять понятие напряжённости электростатического поля точечного заряда, сделали? Для определения направления вектора напряжённости точечного заряда поместите (мысленно) пробный положительный заряд (qо) в заданную точку, направление силы взаимодействия точечных зарядов определить направление вектора напряжённости; не забудьте, зарядов два, операция проделывается для каждого заряда. По-видимому, вектор напряжённости электрического поля для каждого заряда будут направлен в соответствующую сторону, поскольку по знаку зарядов два; учтите принцип суперпозиции полей. Для нахождения потенциала поля в указанной точке, уточните его взаимосвязь с напряжённостью электростатического поля. Придётся интегрировать. Кроме того, заданы два заряда, следовательно, придётся учесть алгебраическое суммирование потенциалов. Вопросы приветствуются.

11. Две параллельные плоскости, заряженные с поверхностными плотностями 2 мкКл/м2 и 0,8 мкКл/м2 находятся на расстоянии 0,6 см друг от друга. Определить напряжённость электрического поля и разность потенциалов между плоскостями. Сделайте чертёж: проведите вертикальную линию ~ 6 см, из её верхней токи под углом 45о проведите волнистую линию длиной ~ 6 см. Из конца это линии проведите вертикалью линию такой же длины и соедините её с первой линией – получилась бесконечно заряженная плоскость. Поставьте в одном из её углов, например, +s; это будет обозначать, что бесконечная плоскость несёт положительный заряд. Нарисуйте силовые линии этой плоскости, не забывая, что она бесконечно большая. Для определения направления силовых линий, мысленно поместите положительный точечный заряд (+qо) на некотором расстоянии от плоскости; как он будет взаимодействовать с заряженной плоскостью? Учитывая взаимодействие одноимённых зарядов, нарисовали линии напряжённости? Они будут совпадать с направлением силы взаимодействия. Для нахождения вектора напряжённости электрического поля бесконечно заряженной плоскости можно воспользоваться теоремой Остроградского-Гаусса или готовым выражением; сделайте выбор сами. Рисунок повторите, сместив его вправо, например, на ~ 6 см, но заряд плоскости будет другой. Нарисуйте электрическое поле этой плоскости с учётом величины заряда; это может проявляться, например, в плотности силовых линий; если величину поля первой заряженной плоскости взять за шесть линий, то поле плоскости с меньшим зарядом будет иметь число силовых линий во столько раз меньшее, во сколько раз её заряд меньше. Результирующее поле найдёте по принципу (суперпозиции) сложения векторов. Для нахождения разности потенциалов между пластинами, уточните её взаимосвязь с напряжённостью электростатического поля. Придётся интегрировать; можно воспользоваться известной из школьного курса взаимосвязью разности потенциалов с напряжённостью электрического поля – напряжённость показывает, как изменяется потенциал на единицу расстояния. Удачи в преобразованиях.

12. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности радиусом 10 см, равномерно распределён заряд 20 нКл. Определить напряжённость и потенциал поля, создаваемого этим зарядом в точке, совпадающей с центром кривизны дуги, если длина нити равна четверти длины окружности. Сделайте рисунок. Проведите четверть окружности: отобразите точку на листе, от неё вправо и вверх проведите горизонтальную и вертикальную пунктирные линии ~ по 2 см (эти отрезки выполняют роль радиуса кривизны R); концы этих отрезков соедините дугой; это будет заряженная нить; покажите, что нить несёт заряд, например, +qо, (почему можно выбрать такой знак заряда?). Приблизительно, посередине нити выделите элемент длины дуги dℓ, он несёт заряд dq. Уточните понятие линейной плотности заряда и запишите аналитическое выражение, связывающее элементарный заряд dq с линейной плотностью заряда t и элементом дуги dℓ. Центр кривизны дуги соедините пунктиром с элементарным зарядом dq. Этот заряд создаёт в центре кривизны напряжённость dE, запишите её аналитическое выражение, не забудьте, заряд dq точечный; отобразите направление вектора dE на чертеже; сделали? Для этого пробный точечный заряд (+qо) мысленно помещают в точку, где необходимо найти вектор напряжённости; в нашем случае в точке кривизны; направление силы взаимодействия зарядов (dq и +qо) определяет направление вектора напряжённости. Элементарный вектор dE может быть спроектирован на оси х,у (провели их из центра кривизны? соответственно, влево и вниз). Аналитически выразите проекцию вектора dE на ось х: dEх = dE×cosa, если угол a отсчитывать от оси х против часовой стрелки. Также можно найти проекцию вектора dE на ось у; для этой проекции вместо cosa появится sina. Осталось найти величины проекций на эти оси, придётся интегрировать. При нахождении dq учтите, что dℓ = R×da. При определении потенциала в центре кривизны учтите взаимосвязь потенциала с напряжённостью электрического поля. Предложенное решение не единственное. Спрашивать не запрещено. Ответят.

13. Определить напряжённость и потенциал электрического поля, создаваемого зарядом, равномерно распределённым по тонкому прямому стержню с линейной плотностью 200 нКл/м, в точке, лежащей на продолжении оси стержня на расстоянии 20 см от ближайшего конца. Длина стержня 40 см. Сделайте чертёж: проведите горизонтальную линию ~ 6 см, это будет стержень; слева над стержнем поставьте +t, что означает – заряжен с линейной плотностью. Справа стержень продлите пунктиром ~ на 2 см, в этой точке нужно определить напряжённость и потенциал; обозначьте её буквой С. Выделите ~ на середине стержня элемент длины dℓ, он несёт заряд dq. Уточните понятие линейной плотности заряда и запишите аналитическое выражение, связывающее элементарный заряд dq с линейной плотностью заряда t и элементом длины dℓ. Этот заряд создаёт в (×) С напряжённость dE, запишите её аналитическое выражение, не забывая, заряд dq точечный, а расстояние от элемента dℓ до точки С обозначьте буквой ℓ; отобразите направление вектора dE на чертеже. Для этого пробный точечный заряд (+qо) мысленно помещают в точку, где необходимо найти вектор напряжённости; в нашем случае в точке С; направление силы взаимодействия зарядов (dq и +qо) определяет направление вектора напряжённости; сделали? Придётся интегрировать. При определении потенциала в точке С, воспользуйтесь взаимосвязью потенциала с напряжённостью электрического поля. Удачи. Спрашивать не запрещено.

14. Найти взаимную потенциальную энергию системы четырёх зарядов по 20 нКл каждый, расположенных в вершинах квадрата со стороной 10 см. Какую работу надо совершить, чтобы развести эти заряды на такое расстояние, на котором изменением взаимодействия между ближайшими зарядами можно пренебречь? Сделайте чертёж: нарисуйте квадрат, в вершинах его расположите заряды, например, +q (почему так можно поступить?). Уточните понятие потенциальной энергии в поле точечного заряда; нашли в учебнике, лекциях. Выберите один из зарядов (например, первый q1), определите энергию его в поле других зарядов; также поступите с остальными зарядами, но будьте осторожны, не учтите энергию взаимодействия между зарядами дважды (возможно, избежать этого поможет третий закон Ньютона, что ограничит число энергий до шести). Для нахождения ответа на второй вопрос, уточните понятие работы; по-видимому, потребуется найти энергию системы во втором случае. Прежде чем перейти к составлению чертёжа для нахождения ответа этой части задачи, уточните смысл слов «изменением взаимодействия между ближайшими зарядами можно пренебречь». Придётся уточнить аналитическое выражением для взаимодействующих точечных зарядов; изменение какого параметра возможно при «разведении зарядов», причём так, чтобы взаимодействие не изменилось; осознали? Так какой из параметров изменяется при разведении зарядов? (на рисунке с двумя зарядами потренируйтесь, разводя их) Можно переходит к составлению рисунка, соответствующего указанному условию; это возможно при расположении зарядов на одной прямой. Опять всё сводится к нахождению энергии взаимодействия. Путь этот уже пройден, вперёд, на трудности. Энергий взаимодействия точечных зарядов не должно быть больше шести. Удачи.

15. Имеются две металлические концентрические сферы радиусами 3 см и 6 см. Заряд внутренней сферы равен q1 = –1 нКл, внешней – q2 = 2 нКл. Найти напряжённость и потенциал электрического поля на расстояниях 5 см и 9 см от центра сфер. Сделайте чертёж: поставьте точку (на расстоянии ~ 4 см от верхнего и левого края); из этой точки проведите две окружности радиусами 1 см и 2 см, что будет соответствовать двум обозначенным в условии задачи сферам, на одной из которых находится заряд –1 нКл, на другой +2 нКл; на сферах отметили. Нарисуйте силовые линии электростатического поля. Для определения направления силовых линий, мысленно поместите положительный точечный заряд (+qо) на некотором расстоянии от заряженной сферы, например, меньшего радиуса; как он будет взаимодействовать с зарядами на сфере (не забудьте, на внутренней сфере заряд по знаку отрицательный)? Учитывая взаимодействие одноимённых зарядов, нарисовали силовые линии поля? Они будут совпадать с направлением силы взаимодействия. Итак, силовые линии внутренней сферы направлены к её поверхности; проведите симметрично четыре линии (взаимно перпендикулярных); не забудьте учесть, у сферы две поверхности – внутренняя и внешняя, следовательно, провести необходимо и для внутренней, и для внешней поверхности. Такие же действия проделайте для сферы с большим диаметром. Уточните направление силовых линий в пространстве между сферами – в разные или в одну сторону? Настала пора воспользоваться теоремой Остроградского-Гаусса; уточнили её смысл? При нахождении потенциала в указанных точках, воспользуйтесь взаимосвязью потенциала с напряжённостью электрического поля. Придётся интегрировать. Спрашивать не запрещено. Помогут.

16. Тонкому проволочному кольцу радиусом 1 м сообщен заряд –40 нКл. В центре кольца покоится электрон. При освобождении электрона он движется, удаляясь от неподвижного кольца. Какую наибольшую величину скорости может иметь электрон? Сделайте чертёж: поставьте точку, вверх и вниз от неё проведите отрезки длиной по ~ 1 см; через точку проведите ещё одну линию, перпендикулярную проведённой; на ней найдите точку отстоящую влево на ~ 0,7 см, а вправо ~ 0,5 см; проведите через эти точки и концы вертикальной линии окружности, причём, ближняя линия утолщённая, по сравнению с дальней. Чтобы убедиться в справедливости такого действия, посмотрите на книгу, стоящую на столе под углом ~ 45о по отношению к линии наблюдения. Окружность заряжена отрицательно, на рисунке обозначили? например, –q; радиус окружности отметили? В центре окружности поместите электрон (точка, несёт заряд, –e). Почему «при освобождении электрона» он должен начать движение? Правильно! Одноимённые заряды… Пора уточнять понятие работы в электрическом поле. Заряд в электрическом поле движется из точки с большим потенциалом в точку с меньшим потенциалом; то есть работа дельта А, (запишите символами) равна произведению заряда, который перемещается (запишите символами), на изменение разности потенциалов (запишите символами). Таким образом, задача сводится к отысканию потенциала в начальной и конечной точках. Начальное положение задано условием задачи; где будет конечное положение?; для этого ответьте на вопрос, как долго «разбегаются» заряды? Догадались, в …, правильно, почему? Осталось найти потенциал в начальной точке. Повторите ещё раз рисунок; разбейте проволочное кольцо на элементарные отрезки dℓ; каждый элемент dℓ несёт заряд dq, создающий в центре кольца электрическое поле, потенциал которого, dj, Вы можете записать самостоятельно (не забудьте, заряд точечный). Запишите элементарный заряд через линейную плотность t и элемент длины dℓ (почему это возможно?); подставьте это в аналитическое выражение для dj. Осталось выразить dℓ через радиус кольца; соедините концы одно из элементов dℓ с центром кольца, догадались – элемент dℓ «опирается» на угол da; на рисунке его обозначили?, запишите аналитически. Подставляем выражение для dℓ в уравнение потенциала dj; линейная плотность связана с зарядом кольца и его длиной. Спрашивайте, помогут.

17. В однородном электростатическом поле с напряженностью 30 кВ/м, направленной вертикально вниз, подвешен на нерастяжимой нити длиной 20 см шарик массой 1 г с зарядом 1 мкКл. Шарик может вращаться в вертикальной плоскости. Какую минимальную горизонтальную скорость надо сообщить шарику в низшем положении, чтобы он сделал полный оборот? Сделайте чертёж: проведите вертикальную линию сверху вниз со стрелкой длиной ~ 3 см; вправо через ~ 1 см проведите ещё три линии, внизу, где стрелкой заканчивается линия, поставьте букву Е, что будет означать – силовые линии вертикального однородного электростатического поля. Между второй и третьей силовыми линиями выберите точку (можно на одной прямой с началом силовых линий) и проведите вниз прямую ~ 2 см – это будет нить; к концу нити прикрепите шарик, его роль может сыграть жирная точка, обладающая массой и зарядом, на чертеже отметили? Из центра нижней точки-шарика проведите длиной ~ до 1 см стрелку слева направо, это будет означать, шарику сообщена некая скорость; в конце это стрелки поставили значок скорости? Поскольку шарик обладает массой, будет разумным предположить, на него оказывает действие Земля; на рисунке это отобразили? Сделать оборот, это, наверное, означает – подняться вверх на длину нити; в этом случае есть надежда, шарик вернётся обратно. Проведите пунктиром полуокружность из точки начала нити радиусом, равным длине нити; если нет циркуля, из точки начала нити вправо (по горизонтали) отложите длину нити; ту же операцию проделайте, только вертикально вверх; три точки соедините в полуокружность. Попробуем составить уравнение закона сохранения энергии при движении шарика из нижней точки в верхнюю. Сообщённая шарику скорость, а значит энергия, расходуется на преодоление силы: тяжести, электростатического поля. Как выглядит аналитическое выражение кинетической энергии, знаете; как записывается потенциальная энергия в поле силы тяжести Земли, знаете. Работа в электростатическом поле определяется разностью потенциалов между верхним и нижним положением шарика умноженной на величину его заряда. В данной ситуации разность потенциалов может быть выражена через величину вектора напряжённости (известно) и расстояние полёта шарика вдоль силовой линии. Спрашивайте. Ответят.

18. Тонкий стержень согнут в полукольцо. Стрежень заряжен с линейной плотностью 133 нКл/м. Какую работу нужно совершить, чтобы перенести заряд 6,7 нКл. из центра полукольца в бесконечность? Сделайте чертёж: поставьте точку; влево, вправо и вверх от неё пунктиром отложите расстояние ~ 2 см; эти точки соедините в полуокружность. Отобразите на ней плотность электрического заряда, например, +t; в центр полукольца поместите заряд +Q. Это означает, полукольцо несёт электрический заряд с линейной плотностью t, а в центре его находится заряд Q. Уточните понятие работы в электрическом поле; основной характеристикой в нём является понятие потенциала; полезно уточнить. Таким образом, задача сводится к отысканию потенциала в начальной и конечной точках. Разбейте полукольцо на элементарные отрезки dℓ, например, ~ 0,5 см; каждый элемент dℓ несёт заряд dq, создающий в центре полукольца электрическое поле, потенциал которого, dj, Вы можете записать самостоятельно (не забудьте, заряд dq точечный). Запишите элементарный заряд dq через линейную плотность t и элемент длины dℓ (почему это возможно?); подставьте это в аналитическое выражение для dj. Осталось выразить dℓ через радиус кольца; соедините концы одно из элементов dℓ с центром полукольца; догадались – элемент dℓ «опирается» на угол da, на рисунке его обозначили?, запишите аналитически. Подставляем выражение для dℓ в уравнение потенциала dj; линейная плотность полу кольца известна, не забыли? Можно переходить к интегрированию; суммирование также возможно, если это понятнее. Потенциал конечной точки вычислить проще; где она находится, уточнили? На таком расстоянии полукольцо выглядит как точка. Удачи в преобразованиях. Спрашивайте, помогут.

19. Две круглые металлические пластины радиусом 10 см каждая, заряженные разноимённо, расположены одна против другой параллельно друг другу и притягиваются с силой 2 мН. Расстояние между пластинами равно 1 см. Определить разность потенциалов между пластинами. Сделайте чертёж: проведите пунктиром горизонтальную линию (семь клеточек) ~ 3,5 см; на расстоянии ~ 1,5 см (через три клеточки) от левого края её проведите пунктиром вертикальную линию ~ 2 см; вправо через две клеточки проведите пунктиром ещё одну вертикальную линию. От точки пересечения первой вертикальной линии с горизонтальной влево отложите ~ 0,7 см, а вправо, ~ 0,5 см. Соедините эти точки с верхними точками первой вертикальной линии. Левую часть проведите сплошной, а правую пунктирной. Такую же операцию проделайте со второй вертикальной линией. Получили изображение двух параллельных круглых металлических пластин (плоский конденсатор); покажите на рисунке, что одна, левая, например, заряжена положительно, другая, отрицательно. Будем считать, что в поле положительно заряженной пластины (левая) находится отрицательно заряженная (правая) пластина. Нарисуйте силовые линии левой пластины: для этого пробный положительный заряд (qо) поместите справа этой пластины; как взаимодействуют одинаковые по знаку заряды? Направление вектора напряжённости совпадает с направлением силы взаимодействия зарядов; нарисовали линии напряжённости. Достаточно трёх; одна от центра левой пластины, две других от верхней и нижней точек этой пластины. Будем считать поле близким к однородному (почему это возможно); запишите выражение для напряжённости электрического поля через разность потенциалов и расстояние между пластинами (на рисунке его обозначили?). Кроме того, запишите напряжённость электрического поля через поверхностную плотность заряда на пластине (теорема Остроградского-Гаусса). Настала пора записать аналитическое выражение для силы взаимодействия между заряженными пластинами: отрицательная пластина находится в поле положительной, можно воспользоваться произведением напряжённости электрического поля на заряд. Заряд может быть выражен через поверхностную плотность заряда и площадь пластины. Преобразуйте, получили систему из трёх уравнениё: для силы, для напряжённости, для заряда. Не забудьте, напряжённость выразили через разность потенциалов системы (конденсатор) и плотность заряда на пластинах. Вопросы не запрещены.

20. Два металлических шара радиусами 2 см и 6 см соединены проводником, ёмкостью которого можно пренебречь. Шарам сообщён заряд 1 нКл. Найти потенциал и напряжённость электрического поля на поверхности шаров. Сделайте чертёж: проведите окружности радиусом ~ 0,5 см и 1,5 см; соедините их линией; получили образ двух металлических шаров разного диаметра, соединённых проводником. Поместите на один из шаров этой системы заряд q; что будет происходить с этим зарядом? Поскольку заряд q состоит из элементарных одинаковых по знаку зарядов, они будут «разбегаться», почему? Как долго заряды будут распределяться по поверхности шаров? По-видимому, до тех пор, пока вектор напряжённости электрического поля внутри шаров не будет равен нулю; кроме того, работа по перемещению единичного заряда с одного шара на другой и обратно должна быть одинаковой, в противном случае – направленное движение зарядов и выделение Джоулева тепла. Второе утверждение позволяет считать: потенциалы шаров одинаковы. Аналитическое выражение для потенциала заряженного шара легко найти; записали j1 и j2? Естественно, на каждом шаре «сидит» свой заряд, но сумма зарядов не может превышать сообщённого; записали закон сохранения электрического заряда? Получили два уравнения: равенство потенциалов и сумма зарядов на шарах не превышает заряд системы до растекания. Преобразуйте.

21. Расстояние между двумя тонкими проволоками, расположенными параллельно друг другу, равно 16 см. Проволоки равномерно заряжены разноимёнными зарядами с линейной плотностью 150 мкКл/м. Какова напряжённость и потенциал поля в точке, удалённой на 10 см как от первой, так и от второй проволоки? Сделайте чертёж: проведите две параллельные линии, отображающие проволоки, на расстоянии ~ 4 см; они уходят в бесконечность (такое предположение возможно?). Отобразите на проволоках, они содержат противоположные по знаку заряды: на левой +t, на правой –t. Отобразите на чертёж, рассмотрение происходит сверху (или снизу). Видимы две точки; представили на чертеже на таком же расстоянии? Нарисуйте вектор напряжённости в указанной точке: для этого возьмите пробный положительный заряд +qо и поместите его в точку, указанную условием задачи (равно удалённую от первой и второй проволоки). Куда направлена сила взаимодействия между левой проволокой и пробным зарядом +qо? Туда направлен вектор напряжённости положительно заряженной проволоки, Е+ (провели пунктир от проволоки до точки удалённой на 10 см, а от точки, сплошной линией, провели вектор Е+). Проведите такие же действия с отрицательно заряженной проволокой и отобразите вектор напряжённости Е; по-видимому, по модулю эти векторы одинаковы, почему? Найдите их векторную сумму. Вектор напряжённости бесконечно заряженной тонкой проволоки может быть найден по теореме Остроградского-Гаусса; можно воспользоваться известным выражением, выбор за Вами; далее преобразования и тригонометрические. Для определения потенциала, уточните его связь с напряжённостью электрического поля; интеграл не сложен. При нахождении общего потенциала в точке учтите, это скалярная величина. Представьте на рисунке силовые и эквипотенциальные линии системы. Спрашивайте. Ответят.

22. Электрическое поле создано точечным зарядом 0,1 мкКл. Определить поток электрического смещения через круглую площадку радиусом 30 см. Заряд равноудалён от краёв площадки и находится на расстоянии 40 см от её центра. Сделайте чертёж: поставьте на плоскости знак +q и обведите его кружком, что будет означать – есть в пространстве электрический заряд со знаком «плюс»; почему так можно поступить? Нарисуйте силовые линии электрического поля: для этого возьмите пробный заряд +qо; (уточните смысл «пробного заряда») Как он будет взаимодействовать с точечным зарядом? нарисуйте силу, действующую на пробный +qо. Направление силы определяет направление силовых линий поля точечного заряда; проведите шесть силовых линий (симметрично) длиной ~ 3 см. На расстоянии ~ 2 см слева (по горизонтали) от точечного заряда проведите вертикальную линию длиной ~ 1,5 см; это изображение площадки, края которой равноудалены от заряда +q. Уточните понятие «поток электрического смещения»; по-видимому, это произведение вектора электрического смещения на элементарную площадку dS, пронизываемую силовыми линиями; если нормаль к площадке dS образует с направлением вектора Е угол a, то необходимо ещё умножить на cosa. Для составления аналитического выражения сделайте дополнительный чертёж. От верхнего края листа отступите вниз на треть; поставьте точку; по горизонтали от этой точки влево и вправо отложите по ~ 3 см; из этой же точки, но вертикально вниз, отложите ~ 4 см и поместите заряд +q; расстояние от заряда до верхней точки (площадки) обозначьте h. Вернитесь к начальной точке и от неё ~ 1 см вертикально вверх найдите точку, другую точку ~ 1,5 см найдите вертикально вниз (отметили точки?). Соедините эти точки с крайними горизонтальными токами в окружность, получили круглую площадку радиусом 30 см и удалённый от неё на 40 см заряд +q. От центра круглой площадки влево и вправо (по горизонтали) отложите по ~ 1 см и соедините в окружность (как у площадки); обозначьте этот радиус буквой r. Соедините прямой линией точку, где находится заряд, с радиусом внутренней окружности и обозначьте его буквой R; угол между h и R обозначьте a. Продолжите эту прямую стрелкой дальше ~ 1,5 см, это будет вектор напряжённости электрического поля Е точечного заряда +q в данной точке круглой площадки. Найдите перпендикулярную составляющую этого вектора к площадке; запишите его аналитическое выражение; не забудьте, имеете дело с точечным зарядом; внимательнее с проекциями. Проведите ещё одну окружность (внутри маленькой), отступив ~ 0,5 см; расстояние между окружностями обозначьте dr. Можно выражать элементарную площадку dS; заштрихуйте её (пространство между окружностями) линиями: dS = 2×p×r×dr; dr находится дифференцированием r; придётся выразить r через h и угол a; также поступите при нахождении R. Удачи в преобразованиях. В конечном выражении придётся интегрировать. Спрашивайте. Ответят.

23. Система состоит из заряда q>0, равномерно распределённого по полуокружности радиуса а, в центре которой находится точечный заряд –q. Найти электрический дипольный момент этой системы. Сделайте чертёж: поставьте на плоскости листа точку и поместите туда заряд –q. От этой точки вверх, вниз и влево отложите по ~ 1,5 см; соедините эти точки в полуокружность, радиус которой обозначьте буквой а. На полуокружность поместите заряд +q; почему так можно поступить? Разбейте полуокружность на элементарные участи dℓ (~ 0,3 см), которые несут заряд dq. Уточните понятие «электрический момент диполя», нашли? Выберите на верхней части полуокружности, например, четвёртый элемент dℓ, несущий заряд dq; соедините его пунктиром с центром полуокружности, где находится отрицательный заряд –q. Данная система dq^–q является элементарным электрическим диполем; электрический момент этого диполя dp = dq×l и ориентирован от отрицательного заряда к положительному; отобразите его направление на рисунке; здесь модуль вектора lравен а, радиусу окружности. Найдите проекцию вектора dpна горизонтальную ось (dpll) через угол (a) между горизонтальной линией и направлением вектора dp, а элемент длины dℓ выразите через радиус полуокружности, равный а и элементарный угол da. Придётся интегрировать. Выразите dq через линейную плотность, которая здесь равна делению заряда q на длину полуокружности радиуса а; а dℓ выразится через операцию умножения радиуса полуокружности, равному а, на элементарное изменение угла da; отобразите на рисунке. Удачи в преобразованиях. Спрашивайте, помогут.

24. Система состоит из двух концентрических проводящих сфер. На внутренней сфере радиуса а находится положительный заряд q1. Какой заряд q2 следует поместить на внешнюю сферу радиуса b, чтобы потенциал внутренней сферы стал равен φ = 0? Как будет зависеть при этом φ от расстояния r, если: а ≤ r ≤ b? Построить график φ(r). Сделайте чертёж: возьмите на плоскости точку; отложите от неё по горизонтали влево, вправо и по вертикали вверх, вниз по ~ 1 см; соедините эти точки в окружность. Это образ внутренней сферы; обозначьте на чертеже её радиус а, а на поверхности находится положительный заряд q1. Из этой же точки отложите по горизонтали влево, вправо и по вертикали вверх, вниз по ~ 2,5 см, соедините их в окружность; это образ внешней сферы, её радиус b, на рисунке отобразили? Не забудьте поместить на её поверхность заряд q2; его нужно найти. Уточните понятие потенциала; на внутренней сфере есть заряд, следовательно, её потенциал не равен нулю; по условию задачи нужно найти величину q2, при которой суммарный потенциал равен нулю. Уточните, как находится потенциал системы зарядов, не забудьте, потенциал – величина скалярная. При сложении потенциалов результирующий потенциал будет равен нулю, если складывать потенциалы равные по величине, но противоположные по знаку. Итак, заряд внешней поверхности q2 должен быть отрицательным, а модуль φ1 = φ2. Характеристикой поведения проводника в электростатическом поле является электроёмкость, уточнили её понятие? Как она связана с потенциалом, зарядом, электрическими свойствами окружающей среды и геометрическими размерами тела? В нашем случае – сферы. Не забудьте, сфер две. При построении графика учтите знаки зарядов и изменение в указанной области потенциалов φ1 и φ2. Спрашивайте, помогут.

25. Тонкая нить длиной 80 см заряжена с линейной плотностью 2 нКл/м. Определить напряжённость и потенциал электростатического поля в точке, находящейся на расстоянии 20 см от середины нити и равноудалённой от её концов. Сделайте чертёж: проведите горизонтальную линию (длиной 6–7 см); найдите середину линии и поставьте точку, а ниже этой точки покажите, что нить имеет заряд (обозначьте, например, + t, что означает, нить заряжена с линейной плотностью, знак заряда положительный); не забудьте это занести в «дано». От срединного положения (обозначенного точкой) вверх отложите указанное в условии задачи расстояние (обозначьте его, например, r); отметьте это положение, например, (х) – здесь нужно определить величину напряжённости и потенциала электрического поля (в «дано» занесли). Справа, на конце нити выделите (вертикальными штрихами) элементарный участок dℓ (пусть он будет длиной 5 мм). Участок несёт элементарный заряд dq = t×dℓ; линией соедините его с точкой (х), в которой необходимо найти заданные величины; (не забудьте её, линию, обозначить; например, R). Уточните понятие напряжённости электрического поля и запишите аналитическое выражение; не забудьте, записываете напряжённость dE для элементарного электрического заряда dq. В аналитическом выражении для dE расстояние (R) от элементарного заряда до точки (х) следует представить через заданные величины (r,ℓ). С другой стороны срединного участка следует осуществить такие же построения и отобразить на рисунке направления элементарных векторов. Эти векторы следует разложить на составляющие (в направлении осей х,у). Из рисунка следует, составляющие вдоль оси х противоположны по направлению, что необходимо учесть в принципе суперпозиции. Вертикальную составляющую придётся искать интегрированием; внимательнее в преобразованиях. Для нахождения потенциала следует воспользоваться взаимосвязью силовой и энергетической характеристик электрического поля. Если возникнут трудности, спрашивайте. Не запрещено.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
| Электрическое поле. Теорема Остроградского-Гаусса

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 725; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ‚аш ip: 54.161.106.81
Генерация страницы за: 0.181 сек.