Матрица поворота. Матрица спина. Вектор угловой скорости

Углы Эйлера, самолетные (корабельные) углы.

Традиционно углы Эйлера вводятся следующим образом. Переход из отсчетного положения в актуальное осуществляется тремя поворотами (рис.4.3):

1. Поворот вокруг на угол прецессии При этом переходит в положение, (в).

2. Поворот вокруг на угол нутации. При этом,. (4.10)

4. Поворот вокруг на угол собственного (чистого) вращения

Для лучшего понимания на рис.4.4 изображен волчок и углы Эйлера, описывающие его

линия узлов

Рис. 4.3. Углы Эйлера.

Рис. 4.4. Углы Эйлера (волчок)

ориентацию.

Заметим, что можно доказать (догадаться трудно), что традиционная последовательность поворотов (4.10) может быть заменена на последовательность поворотов на те же самые углы вокруг неподвижных осей:

1. Поворот вокруг на угол собственного (чистого) вращения

2. Поворот вокруг на угол нутации. (4.11)

4. Поворот вокруг на угол прецессии

Недостаток углов Эйлера в том, что при малом угле нутации углы и в линейном приближении становятся неразличимы и входят в уравнения в виде суммы (+.

Этого недостатка лишены самолетные (корабельные) углы (рис.4.5).

Рис.4.5. Самолетные углы

Переход из отсчетного положения в актуальное можно осуществить тремя поворотами (повернуть самостоятельно!) (рис.4.5):

1. Поворот вокруг на угол рысканья, при этом

2. Поворот вокруг на угол тангажа, при этом (4.12)

3.Поворот на угол крена вокруг

Выражение «можно осуществить» неслучайное; нетрудно понять, что возможны и другие варианты, например, повороты вокруг фиксированных осей

1. Поворот вокруг на угол крена (рискуя сломать крылья)

2. Поворот вокруг на угол тангажа (подъем «носа») (4.13)

3. Поворот вокруг на угол рысканья

Впрочем, тождественность (4.12) и (4.13) также необходимо доказать.

Запишем очевидную векторную формулу для вектора положения какой-либо точки (рис.4.6) в матричном виде. Найдем координаты вектора относительно отсчетного базиса. Разложим вектор по актуальному базису и введем «перенесенный» вектор, координаты которого в отсчетном базисе равны координатам вектора в актуальном; иными словами, - «повернутый» вместе с телом вектор (Рис.4.6).

Рис. 4.6.

Раскладывая векторы по отсчетному базису,получим

Введем матрицу поворота и столбцы,

.

Векторная формула в матричной записи имеет вид

(4.14)

1. Матрица поворота является ортогональной, т.е.

. (4.15)

Доказательство этого утверждения – формула (4.9)

Вычисляя определитель произведения (4.15), получим а так как в отсчетном положении, то (ортогональные матрицы с определителем, равным (+1), называют собственно ортогональными или матрицами поворота). Матрица поворота при умножении на векторы не изменяет ни длин векторов, ни углов между ними, т.е. действительно их поворачивает.

2. Матрица поворота имеет один собственный (неподвижный) вектор, который задает ось поворота. Иными словами, надо показать, что система уравнений, где имеет единственное решение. Запишем систему в виде (. Определитель этой однородной системы равен нулю, так как

,

следовательно, система имеет ненулевое решение. Предположив, что имеется два решения, тут же придем к выводу, что перпендикулярный к ним также является решением (углы между векторами не изменяются), а это значит, что т.е. поворота нет..

Рис.4.7

В дальнейшем будем считать неподвижный вектор оси поворота единичным, а положительное направление отсчета угла поворота согласованным с направлением в соответствии с принятой ориентацией пространства (т.е. с конца положительный поворот виден против часовой стрелки) (рис.4.7). Матрицу поворота будем обозначать

Матрица в ортонормированном базисе

имеет вид.

2. Дифференцируя (4.15), получим или, обозначив – матрица спна (англ. to spin - вертеть). Таким образом, матрица спина кососимметрическая:. Умножая справа на, получим формулу Пуассона для матрицы поворота:

(4.16)

Мы подошли к самому трудному в рамках матричного описания моменту – определению вектора угловой скорости.

Можно, разумеется, поступить стандартным (см., например, способом и написать: «введем обозначения для элементов кососимметрической матрицы S по формуле

Если составить вектор, то результат умножения матрицына векторможет быть представлен в виде векторного произведения». В приведенной цитате - вектор угловой скорости.

Дифференцируя (4.14), получим матричную запись основной формулы кинематики твердого тела:

(4.17)

Матричный подход, будучи удобным для вычислений, очень мало подходит для анализа и вывода соотношений; всякую формулу, написанную на векторном и тензорном языке, без труда можно записать в матричном виде, а вот получить компактную и выразительную формулу для описания какого-либо физического явления в матричном виде трудно.

Кроме того, не следует забывать, что элементы матрицы являются координатами (компонентами) тензора в каком-либо базисе. Сам тензор не зависит от выбора базиса, а его компоненты зависят. Для безошибочной записи в матричном виде необходимо, чтобы все векторы и тензоры, входящие в выражение, были записаны в одном базисе, а это не всегда удобно, поскольку разные тензоры имеют «простой» вид в разных базисах, поэтому нужно пересчитывать матрицы с помощью матриц перехода.

Дата добавления: 2014-01-04