Зависимость кинетического момента от выбора опорной точки. Кинетический момент твердого тела. Тензор инерции

Скорость изменения кинетического момента относительно неподвижной точки равна главному моменту внешних воздействий плюс скорость подвода кинетического момента

Второй фундаментальный закон механики - закон баланса момента количества движения (кинетического момента, момента импульса).

(5.11)

Кинетический момент (момент импульса) одной точки;

тела, состоящего из материальных точек; (5.12)

тела, занимающего какую-либо область в пространстве с непрерывно распределенной массой (континуального тела). (5.13)

A·

Скорость подвода момента количества движения в тело определяется как

,

где –присоединяющаяся к телу за время со скоростью масса.

Главным моментом внешних воздействий называется (см. рис.2.1. главы 2) сумма

, где - сосредоточенные, массовые, контактные силы соответственно, а – моменты.

Замечание 1. Третий закон Ньютона.

Из двух законов следует третий закон Ньютона для точек:

.

Запишем законы для каждой из точек и для системы из двух точек. Имеем:

,, (1)

,, (2)

Складывая первые два уравнения и вычитая третье, получим из (1) и (2)

.,.

Замечание 2. Теорема об изменении кинетического момента.

В механике Ньютона, где тела состоят из материальных точек, а силы взаимодействия между ними центральны и подчинены третьему закону Ньютона закон баланса момента количества движения (кинетического момента) доказывается как теорема об изменении момента количества движения.

Дифференцируя по времени момент (5.12), получим с помощью второго закона Ньютона для точки

=.

Последняя двойная сумма разбивается на равные нулю суммы пар слагаемых

, т.к..

Хотя закон баланса кинетического момента сформулирован в инерциальной системе отсчета, сам кинетический момент может вычисляться в любой системе отсчета.

Рассмотрим любое (не обязательно твердое) тело и две произвольные, может быть подвижные, точки M и N.

M ·

· N

· B

A ·

Заменив =, немедленно получим

или, вспоминая определение количества движения,

(5.14)

Рассмотрим движение твердого тела в любой (необязательно инерциальной) системе отсчета. Найдем кинетический момент относительно какой-либо точки В, принадлежащей телу (т.е. движущейся вместе с телом).

Подставим в определение (5.12) основную формулу кинематики твердого тела, взяв за полюс точку В:

.

Вспоминая определение центра масс, первое слагаемое запишем в виде.

Во втором слагаемом раскроем двойное векторное произведение:

.

Независящий от переменных интегрирования вектор угловой скорости вынесем из интеграла со знаком скалярного умножения, представив, где, напомним, единичный тензор, представимый в ортонормированном базисе в виде.Тогда

,

Описывающий распределение массы вокруг точки В интеграл называется тензором инерции тела в точке В (или относительно точки В):

(5.15)

Таким образом, кинетический момент твердого тела относительно принадлежащей ему точки, называемый собственным кинетическим моментом, имеет вид

. (5.16)

Формула упрощается, если в качестве полюса В выбрать центр масс:

тогда и, (5.17)

где тензор инерции тела относительно центра масс называется центральным.

Если тело вращается вокруг неподвижной точки В, то

. (5.18)

Теперь, если нам нужно найти кинетический момент относительно какой-либо точки, например, относительно неподвижной точки А, достаточно воспользоваться формулой (5.14)

. (5.19)

Дата добавления: 2014-01-04