Вынужденные колебания без сопротивления при произвольном воздействии. Интеграл Дюамеля

Вынужденные колебания без сопротивления при гармоническом воздействии. Резонанс.

Свободные колебания без сопротивления.

В отсутствии вязкого сопротивления и возмущающей силы уравнение (1) принимает вид. (2)

Общее решение этого уравнения – сумма, где постоянные определяются из начальных условий.

, и.

Последнее выражение можно записать в виде

,

где собственная частота, амплитуда и начальная фаза колебаний определяются по формулам

,,.

На тело действует гармоническая сила с частотой и амплитудой.

Уравнение (1) принимает вид

(3)

Общее решение неоднородного уравнения складывается, как известно, из решения однородного уравнения (2) и частного решения, то есть любой функции, удовлетворяющей уравнению (3). В данном случае частное решение нетрудно угадать:. Подставляя его в (3), получим

.

Итак, общее решение. (3a).

Колебания с частотой вынуждающей силы называются чисто вынужденными колебаниями, поскольку при учете трения колебания с собственной частотой со временем затухают.

В данном случае вынужденные колебания - частное решение

.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты возмущающей силы (амплитудно- частотная характеристика (АЧХ)) представлена на рис.1.

ω

Рис.1. АЧХ

p

Рис.2.Резонанс

π

2π

При частоте возмущающей силы, равной собственной частоте, амплитуда колебаний стремится к бесконечности – это явление называют резонансом.

Решение при резонансе получим как предел общего решения (3a) при, найдя предварительно из начальных условий значения постоянных B и D. Имеем:

,

и общее решение.

Вычисляя при помощи правила Лопиталя предел при, получим

Подчеркнутое слагаемое показывает рост размаха колебаний пропорционально времени (рис.2)..

Дифференциальное уравнение имеет вид

(4)

Частное решение можем найти методом вариации произвольных постоянных: решение ищется виде решения однородного уравнения, в котором коэффициенты являются неизвестными функциями времени

. (4a)

Дифференцируя это выражение, получим

Подчеркнутые слагаемые приравниваются нулю; это можно сделать, поскольку искомое частное решение представлено через две функции.

Дифференцируя еще раз и подставляя результат в уравнение (4), получим систему

,

откуда находим

и можем записать в виде

.

Подставляя в (4а) и внося в подинтегральное выражение, получим

(5)

Интеграл (5) называется интегралом Дюамеля; его смысл выходит за рамки рассмотренной задачи.

В интеграле (5) - координата тела в актуальный момент времени при действии в момент единичного импульса, то есть импульса, сообщающего системе единичную скорость. Действительно, решение уравнения при начальных условиях имеет вид

. Поэтому (5) представляет собой суперпозицию движений линейной системы под действием элементарных импульсов силы.

В любой линейной задаче движение при произвольном воздействии и нулевых начальных условиях может быть найдено в виде

, (6)

где - реакция системы на единичный импульс.

x

x

7.1.4. Свободные колебания с учетом сопротивления.

Дифференциальное уравнение имеет вид

(7)

По методу Эйлера решение будем искать в виде Подставляя его в (7), получим характеристическое уравнение

,

откуда определяются собственные числа.

Общее решение имеет вид

, (7а)

где и определяются из начальных условий. Рассмотрим три возможных случая.

А) Большое сопротивление

В этом случае собственные числа и вещественные и решение имеет вид (7а), которое для удобства часто записывают в виде:

, (7b)

где гиперболические функции, удобные для определения постоянных из начальных условий, поскольку

Имеем и

, (7c)

Эскизы графиков движения в зависимости от начальных условий могут иметь вид, представленный на рис. 3.

Эти движения принято называть апериодическими (непериодическими) колебаниями, хотя они и не имеют колебательного характера.

T

Рис 4.

Рис 3.

x

t  

B) Предельно-апериодическое движение

В этом случае собственные числа кратные и, как известно из математики, частные решения имеют вид и, так что общее решение

.

Впрочем, это решение, как и в случае резонанса (см.7.1.2), получается предельным переходом при из общего решения (7c). Замечая, что, получим:

Характер движения вполне описывается эскизами на рис. 3.

C) Малое сопротивление (затухающие периодические колебания)

Собственные числа –комплексные и формально записанное решение тоже комплексное. С помощью формулы Эйлера оно принимает вид

.

Разумеется, если найти постоянные из вещественных начальных условий, мнимая часть решения «исчезнет» (станет равной нулю). Имеем

Таким образом,

. (7d)

Обычно это вещественное решение сразу записывают в виде суммы вещественной и мнимой частей, умноженных на константы, определяемые из начальных условий:

.

Действительно, если комплексная функция является решением линейного уравнения с вещественными коэффициентами, то решениями являются ее вещественная и мнимая части.

Решение может быть записано в виде одной гармоники

.

Это движение, несмотря на неточность, называют затухающими периодическими колебаниями (рис. 4). Частота колебаний, «период».

Дата добавления: 2014-01-04