Плоские гармонические волны и их характеристики

Волновое уравнение.

Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым. Чтобы установить вид волнового уравнения, сопоставим вторые частные производные по координатам и времени от функции Y, описывающей плоскую волну.

Y=Acos(wt-kx)

àодномерное волновое уравнение.

Решением этого уравнения являются функции вида: Y=Acos(wt-kx), т.к. решение линейное, то линейные комбинации такой функции – тоже являются решением. Эти функции описывают распространение возмущений в пространстве.

В общем случае, когда нужно учесть три пространственных измерений, уравнение имеет вид:

Если есть система, распределенная в пространстве, её собственная динамика описывается таким уравнением, то в такой системе могут распространяться волны. Коэффициент стоящий в правой части уравнения характеризует квадрат фазовой скорости.

Фронт волны – плоскость, перпендикулярная направлению распространения волны.

Пусть колебания листа происходят по закону косинуса. Смещение от положения равновесия Y=Acos(wt).

Вызовем плоскость, которая соответствует волновому фронту, на

расстоянии х от листа.

t – время запаздывания колебаний, V- скорость распространения волны.

Y=Acos(w(t-t)). Пусть потери энергии нет Þ амплитуда и частота будут точно такие.

, где k- волновое число и .

– уравнение плоской волны.

радиус вектор в любой точке волновой поверхности,

– волновой вектор.

Y=Acos(wt-kx), где

· j=wt-kx – фаза зависит от t и x.

· Y - смещение

· А – амплитуда

· w – циклическая частота. Показывает быстроту изменения фазы колебаний в определенной точке пространства. w=[c^-1]

· n - частота

· T –период

· к- волновое число. Показывает быстроту изменения фазы колебаний в пространстве в фиксированный момент времени.

· - скорость волнового процесса. –фазовая скорость волны.

· l- длина волны. k* l=2p wT=2p

l- аналог Т, пространственный период волнового процесса.

l= V_фT

Уравнение волны можно представить в комплексном виде: Y=Ае^i(wt-kx).

В общем случае jо!=0, тогда Y=Acos(wt-kx+ j_о), à Y=Аe^ij е^i(wt-kx).

Дата добавления: 2013-12-12