Нахождение ранга матрицы по определению

Ранг матрицы

Для решения и исследования ряда математических и прикладных задач важное значение имеет понятие ранга матрицы.

Определение. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Ранг матрицы А обозначается rang А или r(А).

Свойства ранга матрицы:

1⁰. Ранг матрицы А не превосходит меньшего из ее размеров, т.е.

rang A ≤ min (m; n);

2⁰. г(А) = 0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. А = 0;

3⁰. Для квадратной матрицы n-го порядка r(A)= n тогда и только тогда, когда матрица А – невырожденная.

Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если Δ = 0.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Итак, первым методом нахождения ранга матрицы является метод перебора миноров. Этот способ основан на определении ранга матрицы.

Пусть нам требуется найти ранг матрицы А порядка .

Вкратце опишем алгоритм решения этой задачи способом перебора миноров.

Если есть хотя бы один элемент матрицы, отличный от нуля, то ранг матрицы как минимум равен единице (так как есть минор первого порядка, не равный нулю).

Далее перебираем миноры второго порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг матрицы равен единице. Если существует хотя бы один ненулевой минор второго порядка, то переходим к перебору миноров третьего порядка, а ранг матрицы как минимум равен двум.

Аналогично, если все миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен двум. Если существует хотя бы один минор третьего порядка, отличный от нуля, то ранг матрицы как минимум равен трем, а мы преступаем к перебору миноров четвертого порядка.

И так далее.

Пример.

Найдите ранг матрицы .

Решение.

Так как матрица ненулевая, то ее ранг не меньше единицы.

Минор второго порядка отличен от нуля, следовательно, ранг матрицы А не меньше двух. Переходим к перебору миноров третьего порядка. Всего их штук.

Все миноры третьего порядка равны нулю. Поэтому, ранг матрицы равен двум.

Дата добавления: 2013-12-12