Другая форма полиномов Чебышева, рассматриваемых на отрезке

Полиномы Чебышева на промежутке).

Полиномы, наименее уклоняющиеся от нуля.

Полиномы Чебышева, рассматриваемые ранее, применялись для аппроксимации точечных множеств. Теперь рассматриваем аппроксимацию функции на промежутке.

1. Ортогональность с весом.

Система функций ,заданная на отрезке называется ортогональной на этом отрезке с весом , если при .

Из ортогональности функции с весом следует обычная ортогональность системы .

Системой функций, ортогональной с весом, является полиномы Чебышева – полиномы, наименее уклоняющиеся от нуля.

Получаем

Коэффициенты при старшем числе всегда равны единице!

На этом отрезке можно положить ; т.е. .

Тогда , и примет вид

при

(т.к. )

т.к. , то

Формула неверна при ! при

При из получается рекуррентные формулы для вычисления полиномов Чебышева.

Т.к. ,

а - следует из ,то

И из следует:

Т.о. зная, что

можно по вычислить последовательно все

и т.д.

Свойства полиномов Чебышева:

1. Полиномы Чебышева образуют на отрезкеортогональную систему с весом

, т.е. при .

т.е. полиномы Чебышева – ортогональны с весом.

1. Все корни полинома Чебышева ненулевой степени действительны, различны и лежат на интервале .

1. Полином Чебышева при на отрезке имеет экстремальных значений, равных между собой по абсолютной величине. Максимальной значение модуля полинома Чебышева при на отрезке равно , т.е. при

т.к. вес возрастает при приближении к краям отрезка ,то приближения, получаемые с помощью полиномов Чебышева , учитывают с большей степени значения аппроксимирующей функции у концов отрезка

(это свойство позволяет использовать полиномы Чебышева для равномерногоприближения функции)

2. Понятие о равномерном приближении функций.

До сих пор мы рассматривали квадратичную аппроксимацию функций, при котором минимизировалось среднее квадратичное отклонение (СКО).

– СКО намножестветочек

– СКО при интегральной аппроксимации

(т.е. наотрезке )

При квадратичной аппроксимации достигается выполнение неравенства

для «подавляющего большинства» значения аргумента

Для интервалов иусловие может не выполняться.

При равномерномприближении выполняются более жесткие условия:

Гарантировать, чтобы на всем отрезке отклонение функции и было меньше заданной величины.

Абсолютным отклонением на обобщенного полинома от данной непрерывной функции называется число

Если для всех точек на отрезке , то обобщенным полином на равномерно приближает функцию с точностью до .

Если степень полинома фиксирована, то задача становиться таким образом: подобрать коэффициент полинома так, чтобы величина

была минимальной.

Полином , дающий минимум величине , называется полиномом наилучшего приближения или полиномом, наименее отклоняющимся от на множестве .

Если , тогда полином , дающий минимум величине называется полиномом, наименееотклоняющимсяотнуля.

Если полином ищется в виде ,

(т.е. когда коэффициенты при старшей степени равен 1), то полиномом, наименее отклоняющимся от нуля, является полином Чебышева.

Легко построить наименее отклоняющийся от нуля на данном отрезке полином степени m со старшим коэффициентом, равным единице.

Действительно, подстановка

Преобразует отрезок в отрезок , причем старший коэффициент (при ) будет равен . Отсюда

(6)

Так как для полинома отклонение от нуля равно , то для полинома отклонение от нуля равно

(7)

Пример: С помощью полинома первой степени наилучшим образом равномерно приблизить функцию на отрезке .

Решение: Требуется определить А и В так, чтобы величина была наименьшей.

Следовательно, полином наименее отклоняется от нуля на отрезке .

Из формулы (6) получаем, полагая , .

, (так как )

Так как .

Таким образом:

Причем (из формулы (7))

Геометрически график - средняя параллель между секущей, проходящей через две крайние точки и , и касательной, параллельной этой секущей.

Дата добавления: 2013-12-12