Универсальное множество

Способы задания множеств

Основные понятия теории множеств

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

ЛЕКЦИЯ №1

План

1 Основные понятия теории множеств

2. Способы задания множеств

3. Универсальное множество

4. Операции над множествами

Теория множеств возникла во второй половине XIX века. Ее авторство принадлежит немецкому математику Георгу Кантору. Теория множеств лежит в основе многих математических дисциплин.

Георг Кантор (1845 – 1918). Немецкий математик. Родился в Петербурге. Окончил Берлинский университет (1867). С 1869 г. преподавал в университете в Галле (в 1879 — 1913 профессор). Сформулировал (1878) общее определение мощности множества, первое определение континуума, ввел понятия счетных и несчетных множеств, пустого множества. Развил принципы сравнения множеств. Систематическое изложение принципов своего учения о бесконечности дал в 1879 – 1884 гг. Ввел (1883) новое понятие действительных чисел.

Понятие множества является первичным и поэтому формально не может быть определено. Дадим не строгое определение, для того чтобы создать понятие, представление.

Определение 1.1. Множество – это совокупность, набор различных элементов (объектов), объединенных по каким-либо признакам, общим для них, которые позволяют их рассматривать как единое целое.

Множество состоит из элементов. Множество принято обозначать прописными латинскими буквами (), а его элементы – строчными буквами (). Если элемент принадлежит множеству , то это записывается следующим образом: . Случай, когда элемент не принадлежит множеству , записывается так: . Множество является подмножеством множества , если каждый элемент множества входит в . Записывается это в следующем виде: .

Определение 1.2. Множество называется пустым множеством, если оно не содержит ни одного элемента и обозначается .

Определение 1.3. Множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Пример 1.1. Множества и равны между собой.

Пример 1.2. Множества и не равны между собой.

Рассмотрим несколько утверждений без доказательств:

1. Если и , то ,

2. Пустое множество есть подмножество любого множества.

3. Каждое множество имеет, по крайней мере, два различных подмножества: само себя и пустое множество.

4. Если и , то

Группа студентов – множество, элементами которого являются отдельные люди. В свою очередь, студенческая группа – есть элемент множества всех групп в университете. Таким образом, элементами множества могут быть множества.

Определение 1.4. Множество называется конечным, если содержит конечное число элементов; в случае если множество содержит бесконечное число элементов, то оно называется бесконечным.

a) Конечное множество можно задать перечислением его элементов и записать в форме

(1.1)

Пример 1.2. Рассмотрим множество . Данное множество состоит из конечного числа элементов: 1, 3, 5 и 7.

b) Задание множества путем описания свойств его элементов. Описание свойств обычно задается так: пусть – утверждение, заключающееся в том, что элемент x обладает свойством . Тогда запись

(1.2)

означает, что рассматривается множество всех элементов , обладающих свойством . Таким образом, можно задать как конечные, так и бесконечные множества.

Пример 1.3. Рассмотрим множество натуральных четных чисел. Это можно записать следующим образом:

X ={: , – кратное двум} (1.3)

Если рассматривать теорию множеств без ограничений на способы задания множеств, то такая теория называется наивной теорией множеств. В наивной теории множеств было обнаружено ряд парадоксов.

Парадокс брадобрея. В одном полку жил полковой парикмахер, которого называют брадобреем. Однажды командир приказал ему брить тех и только тех, кто не бреется сам. Приказ довольно разумный: если солдат бреется сам, то зачем тратить на него время полковому парикмахеру? Брадобрей, получив приказ, сначала обрадовался, потому что многие солдаты умели бриться сами, побрил тех, кто бриться сам не умел, а потом сел на пенек и задумался: а что ему с собой-то делать? Ведь если он будет брить себя, то нарушит приказ командира не брить тех, кто бреется сам. Брадобрей уже решил было, что брить себя не будет. Но тут его осенила мысль, что если он сам себя брить не будет, то окажется, что он сам не бреется, и по приказу командира он должен все-таки себя побрить…

Что с ним стало, история умалчивает. Причем же здесь теория множеств? А вот причем: командир пытался определить множество людей, которых брадобрею нужно брить, таким образом:

{ те и только те, кто не бреется сам }.

Казалось бы, обычное множество, описывается несколькими русскими словами, чем оно хуже, например, множества { все студенты института }? Но с этим множеством тут же возникает проблема: не понятно, принадлежит ли этому множеству брадобрей.

Вот другая версия этого парадокса.

Прилагательное русского языка назовем рефлексивным, если оно обладает свойством, которое определяет. Например, прилагательное «русский» – рефлексивное, а прилагательное «английский» – нерефлексивное, прилагательное «трехсложный» – рефлексивное (это слово состоит из трех слогов), а прилагательное «четырехсложный» – нерефлексивное (состоит из пяти слогов). Вроде бы ничто не мешает нам определить множество {все рефлексивные прилагательные}. Рассмотрим прилагательное «нерефлексивный». Оно рефлексивное или нет? Можно заявить, что прилагательное «нерефлексивный» не является ни рефлексивным, ни нерефлексивным. Но это противоречит закону исключения третьего, согласно которому верно либо утверждение, либо его отрицание.

Говорят, что теория содержит парадокс, если в ней доказуемы два противоречащих друг другу суждения (например, брить и не брить). В чем разгадка рассмотренного парадокса? Дело в том, что мы на веру приняли возможность описанной ситуации. На самом деле брадобрея с такими свойствами не существует, и наши рассуждения именно это и доказывают.

Избежать парадоксы удается только в рамках аксиоматической теории множеств, т.е. теории, которая ограничивает способы задания множеств специальной аксиоматикой.

В некоторых случаях можно избежать противоречий наивной теории множеств, если выбрать некоторое так называемое универсальное множество и ограничиться рассмотрением только его подмножеств. В случае необходимости переходят к другому универсальному множеству и работают с его подмножествами и т.д. Можно сказать, что универсальное множество – самое общее, самое большое множество в данном случае.

Дата добавления: 2013-12-12