Общие правила составления двойственных задач

Исходная задача Двойственная задача

Симметричные пары

1. F (X) =CX→ max, Z (Y)= YA ₀→min

AX ≤ A ₀ , YA ≥ C,

X ≥θ; Y ≥θ.

2. F (X) =CX→ min, Z (Y)= YA ₀→ max,

AX ≥ A ₀ , YA ≤ C,

X ≥θ; Y ≥θ.

Несимметричные пары

3. F (X) =CX→ max, Z (Y)= YA ₀→min

AX = A ₀ , YA ≥ C.

X ≥θ;

2. F (X) =CX→ min, Z (Y)= YA ₀→ max,

AX = A ₀ , YA ≤ C.

X ≥θ;

Здесь С =(с ₁, с ₂,…, с_n), Y= (у ₁, у ₂ ,… …,у_т),

При составлении двойственных задач используют следующие правила.

Правило 1. Во всех ограничениях исходной задачи свободные члены должны находиться в правой части, а члены с неизвестными — в левой.

Правило 2. Ограничения-неравенства исходной задачи должны быть записаны так, чтобы знаки неравенств у них были направлены в одну сторону.

Правило 3. Если знаки неравенств в ограничениях исходной задачи «≤», то целевая функция F (X)= c ₀ + c ₁ x ₁ + с ₂ х ₂+... + с_пх_п должна максимизироваться, а если «≥», то минимизироваться.

Правило 4. Каждому ограничению исходной задачи соответствует неизвестное в двойственной задаче; при этом неизвестное, отвечающее ограничению-неравенству, должно удовлетворять условию неотрицательности, а неизвестное, отвечающее ограничению-равенству, может быть любого знака.

Правило 5. Целевая функция двойственной задачи имеет вид

Z (Y) = c ₀ + b ₁ y ₁ +... + b_my_m, где c ₀ ―свободный член целевой функции F (X)исходной задачи; b ₁,..., b_т — свободные члены в ограничениях исходной задачи, при этом b_i ― свободный член именно того ограничения, которому соответствует неизвестная y_i; y ₁, у ₂ ,..., у_т — неизвестные в двойственной задаче.

Правило 6. Целевая функция Z (Y)двойственной задачи должна оптимизироваться противоположным по сравнению с F (X)образом, т.е. если F (X) → max, то Z (Y) → min, и если F (X)→min, то Z (Y)→ max.

Правило 7. Каждому неизвестному x_j, j= 1, 2,..., п исходной задачи соответствует ограничение в двойственной задаче. Совокупность этих п ограничений (вместе с условиями неотрицательности неизвестных y_i,соответствующих ограничениям-неравенствам исходной задачи) образует систему ограничений двойственной задачи. Все ограничения двойственной задачи имеют вид неравенств, свободные члены которых находятся в правых частях, а члены с неизвестными y ₁, y ₂,..., у_т — в левых. Все знаки неравенств имеют вид «≥», если Z (Y)→min, и «≤», если Z (Y)→max.

Коэффициенты, с которыми неизвестные y ₁, y ₂,..., у_т входят в ограничение, соответствующее неизвестному х_j, совпадают с коэффициентами при этом неизвестном х_j в ограничениях исходной задачи, а именно: коэффициент при y_i совпадает с тем коэффициентом при х_j, с которым х_j входит в ограничение исходной задачи, соответствующее неизвестному у_i.

Пример 1. Составить задачу, двойственную к данной

F (X) = х ₁+ 4 х ₂ + 3 х ₃ → min,

Решение. Умножим первое ограничение-неравенство на -1. Задача примет вид исходной задачи симметричной пары двойственных задач:

F (X) = х ₁+ 4 х ₂ + 3 х ₃ → min,

Умножим правые части ограничений на соответствующие переменные двойственной задачи и сложим их, получим целевую функции*

Z (Y)= - 10 у ₁ + 6 у ₂ + 12 у ₃→ max.

Функция Z (Y)максимизируется, так как целевая функций исходной задачи минимизируется.

Умножаем коэффициенты при х ₁ на соответствующие переменные двойственной задачи и складываем их: - 1 у ₁ + 2 у ₂+1 у ₃.Данная сумма меньше или равна коэффициенту при х ₁в целевой функции - 1 у ₁ + 2 у ₂+1 у ₃≤1.

Неравенство имеет вид «≤», потому что целевая функция двойственной задачи максимизируется. Аналогично составляются еще два ограничения двойственной задачи (соответствуют переменным х ₂, х ₃):

- 1 у ₁-1 у ₂ + 2 у ₃≤4,

-1 у ₁ + 3 у ₃ ≤3.

Все переменные двойственной задачи удовлетворяют условию неотрицательности, потому что все ограничения исходной задачи неравенства.

Окончательно двойственная задача имеет вид

Z (Y)= - 10 у ₁ + 6 у ₂ + 12 у ₃→ max,

Пример 2. Составить задачу, двойственную к данной

F (X) = х ₁- х ₂ - 2 х ₃+3 х ₄ → min,

Решение. Данная задача имеет вид исходной задачи второй несимметричной пары двойственных задач. Запишем двойственную задачу

Z (Y)= 7 у ₁ + 10 у ₂→ max,

Переменные у ₁, у ₂могут не удовлетворять условию неотрицательности, так как они соответствуют ограничениям-равенствам исходной задачи.

Пример 3. Составить задачу, двойственную к данной

F (X) = 3- 2 х ₁ + х ₃ → min,

Решение. Используем общие правила составления двойственных задач. Умножим ограничения-неравенства на -1, так как в задаче на минимум они должны иметь вид «≥» (см. правило 3). Исходная задача запишется в виде

F (X) = 3- 2 х ₁ + х ₃ → min,

Составим двойственную задачу: Z (Y)=3 - 3 у ₁ + 5 у ₂- 8 у ₃+ 6 у ₄ → max,

Неизвестная у ₄,соответствующая ограничению-равенству, может быть любого знака (см. правило 4).

Дата добавления: 2013-12-12