Метод северо-западного угла

Методы построения начального опорного решения

Метод вычеркивания

Метод вычеркивания позволяет проверить, является ли данное решение транспортной задачи опорным.

Пусть допустимое решение транспортной задачи, которое имеет т+п— 1 отличную от нуля координату, записано в таблицу. Чтобы данное решение было опорным, векторы ― условия, соответствующие положительным координатам, должны быть линейно независимыми. Для этого занятые решением клетки таблицы должны быть расположены так, чтобы из них нельзя было образовать цикл.

Строка или столбец таблицы с одной занятой клеткой не может входить в какой-либо цикл, так как цикл имеет две и только две клетки в каждой строке или в столбце. Следовательно, можно вычеркнуть сначала либо все строки таблицы, содержащие по одной занятой клетке, либо все столбцы, содержащие по одной занятой клетке, далее вернуться к столбцам (строкам) и продолжить их вычеркивание. Если в результате вычеркиваний все строки и столбцы будут вычеркнуты, значит, из занятых клеток таблицы нельзя выделить часть, образующую цикл, и система соответствующих векторов-условий линейно независима, а решение является опорным. Если же после вычеркиваний останется часть клеток, то эти клетки образуют цикл, система соответствующих векторов-условий линейно зависима, а решение не является опорным.

Ниже приведены примеры «вычеркиваемого» (опорного) и «невычеркиваемого» (неопорного) решений:

«вычеркиваемое» «невычеркиваемое»

Существует ряд методов построения начального опорного решения, наиболее простым из которых является метод северо-западного угла. В данном методе запасы очередного поставщика используются для обеспечения запросов очередных потребителей до тех пор, пока не будут исчерпаны полностью, после чего используются запасы следующего по номеру поставщика.

Заполнение таблицы транспортной задачи начинается с левого верхнего угла и состоит из ряда однотипных шагов. На каждом шаге, исходя из запасов очередного поставщика и запросов очередного потребителя, заполняется только одна клетка и соответственно исключается из рассмотрения один поставщик или потребитель. Осуществляется это таким образом:

1) если а_i < b_j, то х_ij = a_i и исключается поставщик с номером i, x_ik = 0,

k =1, 2,..., п, k≠ j, b_j' = b_j - а_i;

2) если a_i > b_j, то x_ij = b_j и исключается потребитель с номером j, x_kj = 0,

k= 1, 2,..., т, к≠ i, а'_i = а_i - b_j;

3) если a_i = b_j, то x_ij = a_i =b_j и исключается либо i -й поставщик, x_ik = 0,

k = 1, 2,..., п, k≠ j, b_j'= 0, либо j -й потребитель, х_кj = 0, k= 1, 2,..., т, к≠ i, а_i^’ =0.

Нулевые перевозки принято заносить в таблицу только тогда, когда они попадают в клетку (i, j), подлежащую заполнению. Если в очередную клетку таблицы (i, j) требуется поставить перевозку, а i -й поставщик или j -й потребитель имеет нулевые запасы или запросы, то в клетку ставится перевозка, равная нулю (базисный нуль), и после этого, как обычно, исключается из рассмотрения соответствующий поставщик или потребитель. Таким образом, в таблицу заносят только базисные нули, остальные клетки с нулевыми перевозками остаются пустыми.

Во избежание ошибок после построения начального опорного решения необходимо проверить, что число занятых клеток равно т + п — 1 и векторы-условия, соответствующие этим клеткам, линейно независимы.

Теорема. Решение транспортной задачи, построенное методом северо-западного угла, является опорным.

Доказательство. Число занятых опорным решением клеток таблицы должно быть равно N = т + п — 1. На каждом шаге построения решения по методу северо-западного угла заполняется одна клетка и исключается из рассмотрения одна строка (поставщик) или один столбец (потребитель) таблицы задачи. Через т + п — 2 шага в таблице будет занято т + п - 2 клетки. В то же время останутся невычеркнутыми одна строка и один столбец, при этом незанятая клетка одна. При заполнении этой последней клетки число занятых клеток составит т + п — 2 + 1 = т + п — 1.

Проверим, что векторы, соответствующие занятым опорным решением клеткам, линейно независимы. Применим метод вычеркивания. Все занятые клетки можно вычеркнуть, если проделать это в порядке их заполнения. Ч.т.д.

Необходимо иметь в виду, что метод северо-западного угла не учитывает стоимость перевозок, поэтому опорное решение, построенное данным методом, может быть далеко от оптимального.

Пример. Составить начальное опорное решение, используя метод северо-западного угла, для транспортной задачи, исходные данные которой представлены в таблице:

bj ai

Решение. Распределяем запасы 1-го поставщика. Так как его запасы а ₁=100 меньше запросов 1-го потребителя b ₁=150, то в клетку (1, 1) записываем перевозку х ₁₁=100 и исключаем из рассмотрения поставщика. Определяем оставшиеся неудовлетворенными запросы 1-го потребителя b ₁ '=b ₁ —а ₁ = 150-

-100=50.

Распределяем запасы 2-го поставщика. Так как его запасы а ₂= 250 больше оставшихся неудовлетворенными запросов 1-го потребителя b ₁ ' = 50, то в клетку (2, 1) записываем перевозку х ₂₁= 50 и исключаем из рассмотрения 1-го потребителя. Определяем оставшиеся запасы 2-го поставщика а' ₂ =а ₂ — b ₁ '= 250- — 50 = 200. Так как а' ₂= b ₂ = 200, то в клетку (2, 2) записываем х ₂₂= 200 и исключаем по своему усмотрению либо 2-го поставщика, либо 2-го потребителя. Пусть исключили 2-го поставщика. Вычисляем оставшиеся неудовлетворенными запросы 2-го потребителя b' ₂ = b ₂— а' ₂= 200 — 200 = 0.

Распределяем запасы 3-го поставщика. Так как а ₃ > b' ₂ (200 > 0), то в клетку (3, 2) записываем х ₃₂ = 0 и исключаем 2-го потребителя. Запасы 3-го поставщика не изменились а '₃ = а ₃ — b' ₂ = 200 — 0 = 200. Сравниваем а' ₃и b ₃(200> 100), в клетку (3, 3) записываем х ₃₃ = 100, исключаем 3-го потребителя и вычисляем а ''₃ = а '₃— b ₃= 200 - 100 = 100. Так как а ''₃ = b ₄, то в клетку (3, 4) записываем х ₃₄ = 100. Ввиду того, что задача с правильным балансом, запасы всех поставщиков исчерпаны и запросы всех потребителей удовлетворены полностью и одновременно.

Результаты построения опорного решения приведены в таблице:

bj ai

Проверяем правильность построения опорного решения. Число занятых клеток должно быть равно N= т + п — 1 = 3 + 4— 1=6. В таблице занято шесть клеток. Применяя метод вычеркивания, убеждаемся, что найденное решение является «вычеркиваемым»:

(звездочкой отмечен базисный нуль).

Следовательно, векторы-условия, соответствующие занятым клеткам, линейно независимы и построенное решение является опорным.

Дата добавления: 2013-12-12