Законы операций над множествами

Операции над множествами

Из элементов двух и более множеств можно образовывать новые множества.

1. Пересечение множеств.

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множествам А и В одновременно (обозначают А Ç В).

Данное определение можно записать в таком виде:

А Ç В = { х ½ х Î А Ù х Î В }.

На диаграмме пересечение множеств А и В изображено заштрихованной областью.

А В

Если множества А и В не имеют общих элементов, то говорят, что множества не пересекаются, и пишут А Ç В = Æ.

Если элементы множеств А и В перечислены, то чтобы найти их пересечение, достаточно перечислить элементы, которые одновременно принадлежат множеству А и множеству В, т.е. их общие элементы.

Пусть А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {4, 5, 6, 7}, тогда А Ç В = {4, 5}.

Если множества А и В заданы указанием их характеристических свойств, то в их пересечение войдут только те элементы, которые обладают одним и другим свойством одновременно.

Например, если множество А – множество однозначных чисел, В – множество натуральных чисел, делящихся на 5, то множеству А Ç В принадлежат натуральные числа, делящиеся на 5.

2. Объединение множеств.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат хотя бы одному из данных множеств (обозначают А È В).

Данное определение можно записать в таком виде:

А È В = { х ½ х Î А Ú х Î В }.

На диаграмме пересечение множеств А и В изображено заштрихованной областью.

А В

Пусть А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {4, 5, 6, 7}, тогда А È В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Рассмотрим случай, когда множества заданы указанием характеристического свойства. Пусть А – множество чисел, кратных 2; В – множество чисел, кратных 3. Тогда объединению этих множеств будут принадлежать числа, кратные 2 или 3.

Понятие пересечения и объединения множеств можно обобщить на любое конечное число множеств.

3. Разность множеств.

Определение. Разностью множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В (обозначают А В).

Данное определение можно записать так:

А В = { х ½ х Î А Ù х Ï В }.

На диаграмме пересечение множеств А и В изображено заштрихованной областью.

А В

Если А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {4, 5, 6, 7}, тогда А В = {1, 2, 3}.

Часто приходится выполнять вычитание множеств в случае, когда одно из множеств является подмножеством другого. Если В Ì А, то разность А В называют дополнением множества В до множества А (обозначают ).

Множество на рисунке показано штриховкой.

А

Определение. Дополнением множества А до универсального называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат универсальному, но не принадлежат множеству А (обозначают ).

Например, если I – множество цифр, а множество А = {1, 2, 3, 4, 5}, то = {6, 7, 8, 9, 0}.

Если множества заданы указанием характеристического свойства и В Ì А, то множество с помощью характеристического свойства, общий вид которого «х Î А Ù х Ï В». Так, если А множество натуральных чисел, кратных 3, а В – множество натуральных чисел, кратных 9, то – это множество, содержащее натуральные числа, кратные 3, но не кратные 9.

Мы рассмотрели различные операции над множествами. Часто для доказательства равенства множеств бывает необходимо знать, в каком случае элемент принадлежит тому или иному множеству. Для удобства составим таблицу.

х Î А Ç В Û х Î А Ù х Î В х Ï А Ç В Û х Ï А Ú х Ï В

х Î А È В Û х Î А Ú х Î В х Ï А È В Û х Ï А Ù х Ï В

х Î А В Û х Î А Ù х Ï В х Ï А В Û х Ï А Ú х Î В

х Î Û х Ï А х Ï Û х Î А

Выясним, каков порядок выполнения действий над множествами.

Пересечение множеств – более «сильная» операция, чем объединение, поэтому в выражении А È В Ç С вначале нужно найти пересечение множеств В и С, а затем найти объединение множества А с полученным множеством.

Условились считать, что пересечение – более «сильная» операция, чем вычитание, поэтому в выражении А В Ç С сначала находят пересечение множеств В и С, а затем полученное множество вычитают из множества А.

Объединение и вычитание множеств считают равноправными, поэтому их выполняют в том порядке, в каком они записаны в выражении.

1. Коммутативные законы

А Ç В = В Ç А

А È В = В È А

2. Ассоциативные законы

А Ç (В Ç С) = (А Ç В)Ç С

А È (В È С) = (А È В)È С

3. Дистрибутивные законы

А Ç (В ÈÚ С) = (А Ç В)È (А Ç С)

А È (В Ç С) = (А È В)Ç (А È С)

4. А Ç А = А

А È А = А

5. А Ç I = А

А È I = I

6. А Ç Æ= Æ

А È Æ= А

7. А Ç = Æ

А È= I

8.

9. А В = А Ç

10. = А

Докажем, что . Доказательство будем вести на основе свойства равенства множеств (А = В Û А Ì В Ù В Ì А).

Доказательство. Пусть х Î Þ х Ï А È В Þ х Ï А Ù х Ï В Þ х Î Ù х Î Þ х ÎÞ .

Обратно, пусть х ÎÞ х Î Ù х Î Þ х Ï А Ù х Ï В Þ х Ï А È В Þ х Î Þ.

Т.к. и , то можно сделать вывод, что .

Остальные законы можно доказать аналогично.

Контрольные вопросы

1. Что понимают под множеством?

2. Как называют объекты, из которых образовано множество?

3. Какое множество называют пустым?

4. Какие множества называют конечными и бесконечными?

5. В каком случае считают, что множество задано?

6. Укажите способы задания множеств.

7. В каком случае множество А является подмножеством множества В?

8. Какие подмножества называют собственными и несобственными?

9. Какие множества называют равными?

10. Сформулируйте свойство равенства множеств.

11. Какое множество называют пересечением, объединением, разностью множеств, дополнением одного множества до другого, дополнением множества до универсального?

Дата добавления: 2013-12-12