Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Строение и виды теорем




Контрольные вопросы

1. Что значит предикат В (х) следует из предиката А (х)? В каком отношении находятся множества истинности этих предикатов?

2. В каком случае предикат А (х) будет являться необходимым условием для предиката В (х), достаточным условием для В (х)?

3. В каком случае предикаты А (х) и В (х) будут равносильны?

 

 

Теорема – это высказывание, истинность которого устанавливается посредством рассуждения (доказательства).

С логической точки зрения теорема представляет собой высказывание вида А Þ В, где А и В – предикаты с одной или несколькими переменными. Предложение А называют условием теоремы, а предложение В – ее заключением.

Рассмотрим теорему: «Если натуральное число делится на 2 и на 3, то оно делится на 6». Условие теоремы: «число делится на 2 и на 3», заключение теоремы: «число делится на 6». Условие и заключение теоремы представляют собой предикаты, заданные на множестве Х натуральных чисел. Данное предложение истинно при всех х из множества Х, следовательно, запись теоремы будет следующей: (" х Î Х) А (х) Þ В (х).

Т.о. в записи теоремы можно выделить 3 части:

1) разъяснительную (" х Î Х) – в ней описываются множества объектов, о которых идет речь в теореме;

2) условие теоремы: предикат А (х), заданный на множестве Х;

3) заключение теоремы: предикат В (х), заданный на множестве Х.

Для всякой теоремы вида (" х Î Х) А (х) Þ В (х) можно сформулировать предложения:

обратное данному (" х Î Х) В (х) Þ А (х),

противоположное данному (" х Î Х) ,

обратное противоположное данному (" х Î Х) .

Заметим, что эти предложения не всегда является теоремами. Например, предложение, обратное для теоремы «если каждое слагаемое делится на данное число, то и сумма делится на данное число» будет ложным. Оно будет формулироваться так: «Если сумма делится на данное число, то и каждое слагаемое делится на данное число». Чтобы убедиться в том, что оно ложное, можно привести контрпример: 3 + 7 = 10. Сумма 10 делится на 5, но ни одно слагаемое на 5 не делится. Данные предложения будут теоремами только в том случае, если они истинны.

Пример. Рассмотрим предложение: «Если каждое слагаемое – четное число, то и сумма – четное число». В нашем примере предикат А (х): «каждое слагаемое – четное число», В (х): «сумма – четное число». Данное предложение является истинным, поэтому его можно назвать теоремой.

Построим обратное предложение: «Если сумма – четное число, то и каждое слагаемое – четное число». Оно ложное, т.к. можно привести контрпример 8 = 5 + 3.

Противоположное предложение: «Если хотя бы одно из слагаемых – нечетное число, то и сумма – нечетное число. Оно также ложно (можно воспользоваться тем же контрпримером).

Обратное противоположному предложение: «Если сумма – нечетное число, то хотя бы одно слагаемое – нечетное число». Оно истинно, поэтому оно также является теоремой.

 

Заметим, что прямое и обратное противоположному предложения всегда имеют одинаковые значения истинности, т.к. имеется равносильность (А Þ В) Û (В Þ А), называемая законом контрапозиции. Из этого предложения также следует, что предложения, обратное данному и противоположное данному также имеют одинаковые значения истинности. Поэтому, рассматривая их, достаточно доказать (или опровергнуть) какое-нибудь одно, тем самым будет доказано (или опровергнуто) другое.

Если для данное теоремы А (х) Þ В (х) существует обратная В (х) Þ А (х), то их можно соединить в одну А (х) Û В (х), в формулировке которой будут использоваться слова «необходимо и достаточно», «тогда и только тогда».

Заметим также, что если условие или заключение теоремы представляет собой конъюнкцию или дизъюнкцию, то, чтобы получить предложение, противоположное данному, нужно учитывать правила построения отрицания конъюнкции или дизъюнкции.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2013-12-12; Просмотров: 546; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.014 сек.