КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Несобственные интегралы с бесконечными пределами (несобственные
интегралы 1-го рода)
Пусть функция f(x) определена и непрерывна при х ≥ а. Тогда интеграл имеет смысл при любом b > a и является непрерывной функцией аргумента b.
Определение 15.1. Если существует конечный предел , (15.1) то его называют несобственным интегралом 1-го рода от функции f(x) на интервале и обозначают . Таким образом, по определению =. (15.2) При этом говорят, что несобственный интеграл существует или сходится. Если же не существует конечного предела (15.1), несобственный интеграл не существует или расходится. y Повторим, что геометрической интерпрета- y=f(x) цией несобственного интеграла 1-го рода является площадь неограниченной области, расположенной между графиком функции y=f(x), прямой х = а и осью О х.
a b
Замечание. Аналогичным образом можно определить и несобственные интегралы 1-го рода для других бесконечных интервалов: (15.3) В частности, последний интеграл существует только в том случае, если сходятся оба интеграла, стоящие в правой части равенства. Часто достаточно бывает только установить сходимость или расходимость несобственного интеграла и оценить его значение. Лемма. Если на интервале [ a, +∞), то для сходимости интеграла необходимо и достаточно, чтобы множество всех интегралов (b > a) было ограничено сверху, то есть чтобы существовала такая постоянная c > 0, чтобы выполнялось неравенство . (15.4) Доказательство. Рассмотрим функцию и покажем, что в условиях леммы она монотонно возрастает на [ a, +∞). Действительно, при = + + = g(b), так как при 0. Следовательно, функция g(b) монотонно возрастает и ограничена сверху, поэтому она имеет конечный предел при , что по определению означает существование интеграла .
Теорема 15.1 (признак сравнения). Пусть при . Тогда: 1) если интеграл сходится, то сходится и интеграл ; 2) если интеграл расходится, то расходится и интеграл .
Доказательство. Из условия теоремы следует, что . Поэтому, если интегралы ограничены сверху (по лемме), то сверху ограничены и интегралы , следовательно, сходится (по той же лемме). Если же интеграл расходится, то, если бы интеграл сходился, то по ранее доказанному должен был бы сходиться, что противоречит сделанному предположению. Значит, в этом случае расходится. Теорема полностью доказана.
Следствие. Пусть на [ a,∞), и существует конечный или бесконечный предел , то: а) если интеграл сходится и , то сходится и интеграл ; б) если интеграл расходится и , то интеграл тоже расходится. В частности, если k = 1, то есть функции f(x) и φ(х) эквивалентны при , то интегралы и сходятся и расходятся одновременно. При применении признака сравнения удобно сравнивать подынтегральную функцию с функцией , α > 0, для которой сходимость или расходимость соответствующего несобственного интеграла легко установить непосредственно. Пусть тогда . При α = 1 . Следовательно, сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1.
Пример. Исследуем на сходимость . При подынтегральная функция эквивалентна . Таким образом, α = 2 > 1, и данный интеграл сходится.
Дата добавления: 2013-12-12; Просмотров: 429; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |