Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Непрерывность функции




Второй замечательный предел

Первый замечательный предел

Для числовой последовательности (1 + 1/n)n:

Число е (число Эйлера) – это иррациональное число, которое приблизительно равно 2,718281. Это число широко используется в математическом анализе. График функции у = ех называют экспонентой[3]. Логарифм по основанию е называют натуральным и обозначают ln x.

Можно доказать, что для функций f(x) = (1 + 1/x)x и f(x) = (1 + x)1/x:

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она удовлетворяет трем условиям:

1) определена в точке (т.е. существует f(x0));

2) имеет конечный предел при х®х0;

3) этот предел равен значению функции в точке х0,

т.е. .

 

Поясним определение непрерывности следующим примером (рисунок 2.10). На рисунке представлены графики четырех функций y = f(x), первые три из которых не являются непрерывными в точке x = 0, а четвертая – является.

В самом деле, функция (а) не является непрерывной в точке x = 0, так как вообще не определена в этой точке (т.е. нарушено первое условие непрерывности).

Для функции (б) в точке x = 0 первое условие непрерывности выполняется, но нарушается второе условие – отсутствует предел функции в этой точке (существуют только односторонние пределы, не равные друг другу: ). Поэтому функция (б) также не является непрерывной.

Для функции (в) в точке x = 0 выполняются первые два условия непрерывности, но при этом , а f(0) = 1. Так как , нарушается третье условие непрерывности, и эта функция также не является непрерывной.

А вот функция (г) в точке x = 0 является непрерывной, так как в этом случае выполняются все три условия непрерывности: .

 

По-другому вышеприведенное определение непрерывности функции можно записать в виде: (для непрерывной функции возможна перестановка символов предела и функции).

Слово «непрерывность» применительно к функции используется в связи с тем, что если функция непрерывна в точке, то ее график в этой точке можно провести, не отрываясь от листа, т.е. сам график непрерывен.

 

Если функция не является непрерывной в точке х0, то эту точку называют точкой разрыва функции.

Точки разрыва могут быть первого и второго рода.

В точке разрыва первого рода либо существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа, не равные друг другу (как на рисунке 2.10 (б)), либо предел функции в этой точке существует, но не равен значению функции в этой точке (как на рисунке 2.10 (в)). В последнем случае точку разрыва первого рода называют точкой устранимого разрыва.

В точке разрыва второго рода хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует (как на рисунке 2.10 (а), где односторонние пределы равны бесконечности).

 

Непрерывность функции в точке можно определить и по-другому.

Функция у = f(х) называется непрерывной в точке х0, если она определена в эnой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: .

Под приращением функции здесь будем понимать разность между значением функции при значении аргумента, увеличенном на приращение Dx, и ее значением в точке x0: Dy = f(x0 + Dx) - f(x0) (рисунок 2.11).

Можно доказать эквивалентность этих двух определений непрерывности.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2013-12-12; Просмотров: 289; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.