Свойства умножения вектора на число

Линейные операции над векторами

Векторная алгебра. Понятие вектора, координаты, модуль вектора. Линейные операции над векторами. Базис

Лекция 4

Цель: Изучить понятие вектора, равенства векторов, как определяются координаты вектора его модуль, линейные операции над векторами и их свойства, понятие базиса.

Определение. Направленный отрезок (упорядочивающий пару точек) будем называть вектором и обозначать, , где точку называют началом вектора, а – его концом (рис.4.1).

Необходимо знать, что в печатных изданиях часто векторные величины и векторы обозначают жирным шрифтом, без стрелки

В

Вектор, у которого начало и конец совпадают, будем называть нулевым вектором

	А

Рис. 4.1

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной, модулем или абсолютной величиной вектора и обозначают , .

Векторы называются коллинеарными, если существует прямая, которой эти векторы параллельны, пишут . Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными (направлены в одну сторону), и противоположно направленными. Обозначается соответственно , .

Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору т.к. не имеет направления.

Свойство. Если вектор коллинеарен ненулевому вектору , то существует действительное число такое, что .

Определение. Два вектора считаются равными, если выполнено три условия: 1) их модули равны, 2) они параллельны, 3) направлены в одну сторону.

О равенстве векторов стоит поговорить отдельно, т.к. оно существенно отличается от равенства чисел. Два равных числа могут рассматриваться как одно и тоже. С векторами все иначе.

Из курса физики известно, что сила может быть изображена вектором. Но, силы изображаемые равными направленными отрезками производят, вообще говоря различные действия. Так сила действующая на упругое тело изображается направленным отрезком, который не может быть никуда перенесен из данной точки. Т.е. он характеризуется направлением и точкой приложения и называется приложенным вектором.

Сила действуещая на абсолютно твердое тело, изображается скользящим вектором, который может быть перенесен не в любую точку пространства, а лишь вдоль прямой на которой он лежит.

Все остальные равные вектора (множество направленных отрезков, равных данному) называются свободными векторами, с которыми мы и будем работать.

Определение. Суммой называется вектор , который может быть найден по следующим правилам (рис.4.2).

Свойства сложения векторов:

1) , (коммутативность);

2) , (ассоциативность);

3) прибавление нулевого вектора к любому другому не меняет последнего ;

4) вектор, противоположный вектору , обозначается . Их сумма дает нулевой вектор .

Правило треугольника Правило параллелограмма

Рис. 4.2

Определение. Разность есть сумма (рис.4.3).

Рис.4.3

Определение. Произведением вектора на вещественное число называется любой вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

а) вектор коллинеарен вектору ;

б) ;

в) векторы и направлены одинаково если и противоположно направлены если

1. Для любых действительных чисел и любого вектора верно равенство .(ассоциативность)

2. Умножение векторов на число дистрибутивно относительно сложения чисел

(дистрибутивность).

3. Умножение векторов на число дистрибутивно относительно сложения векторов

4. .

Применяя линейные операции над векторами мы можем составлять суммы векторов умноженных на некоторые вещественные числа.

Определение. Выражение вида , где – произвольные постоянные, называется линейной комбинацией векторов .

С помощью введенных выше линейных операций мы можем преобразовать выражения, составленные из линейных комбинаций: раскрывать скобки, приводить подобные члены, переносить некоторые слагаемые в другую часть равенства с противоположным знаком.

Дата добавления: 2013-12-11