Нормированное уравнение плоскости

Уравнение плоскости через точки и направляющие вектора

Определение: Два произвольных неколлинеарных вектора, лежащих в указанной плоскости или параллельных ей, называются направляющими векторами данной плоскости.

Для того, чтобы записать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и два направляющих вектора плоскости , воспользуемся условием компланарности векторов (рис.8.4), где произвольна точка пространства принадлежащая плоскости.

Рис.8.4

или в координатной форме:

(8.8)

Пусть дана – единичная нормаль и расстояние от точки до начала координат , выразим уравнение плоскости через: и углы между осями и вектором (рис. 8.5).

Рис. 8.5

Координаты вектора , очевидно тогда и только тогда, когда , следовательно, должно выполняться равенство , отсюда получаем нормированное уравнение плоскости .

Чтобы привести полное уравнение к нормированному виду, нужно каждый коэффициент уравнения умножить на нормирующий множитель , знак зависит от . Знак выбираем противоположный , т. к. .

Расстояние от произвольной точки пространства до указанной плоскости определяется аналогично расстоянию от точки до прямой:

(8.9)

Определение. Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую L, называется пучком плоскостей (с центром в L).

Теорема. Если даны две не параллельные плоскости , и , а и – какие угодно числа неравные нулю одновременно, то

есть уравнение плоскости, проходящей через прямую L.

Определение. Совокупность всех плоскостей, проходящих через данную точку , называется связкой плоскостей (с центром в ).

Теорема. Уравнение связки с центром в имеет вид , где и не равны нулю одновременно.

Дата добавления: 2013-12-11