Тема 3. Статистическая проверка гипотез

Таблица критических значений t-критерия Стьюдента

(- число степеней свободы)

	Уровень значимости-		Уровень значимости-
0,1	0,05	0,01	0,001	0,1	0,05	0,01	0,001
	6,314	12,71	63,657	636,62		1,714	2,069	2,807	3,768
	2,920	4,303	9,925	31,599		1,711	2,064	2,797	3,745
	2,353	3,182	5,841	12,924		1,708	2,060	2,787	3,725
	2,132	2,776	4,604	8,610		1,706	2,056	2,779	3,707
	2,015	2,571	4,032	6,869		1,703	2,052	2,771	3,690
	1,943	2,447	3,707	5,959		1,701	2,048	2,763	3,674
	1,895	2,365	3,499	5,408		1,699	2,045	2,756	3,656
	1,860	2,306	3,355	5,040		1,697	2,042	2,750	3,646
	1,833	2,262	3,250	4,781		1,689	2,031	2,726	3,598
	1,812	2,228	3,169	4,587		1,684	2,021	2,704	3,554
	1,796	2,201	3,106	4,437		1,680	2,014	2,690	3,527
	1,782	2,179	3,055	4,318		1,676	2,009	2,678	3,505
	1,771	2,160	3,012	4,221		1,670	2,000	2,660	3,505
	1,761	2,145	2,977	4,140		1,664	1,994	2,649	3,458
	1,753	2,131	2,947	4,073		1,662	1,990	2,639	3,416
	1,746	2,120	2,921	4,015		1,661	1,987	2,632	3,402
	1,740	2,110	2,898	3,965		1,660	1,984	2,626	3,391
	1,734	2,101	2,878	3,922		1,658	1,980	2,617	3,373
	1,729	2,093	2,861	3,883		1,656	1,978	2,612	3,359
	1,725	2,086	2,845	3,850		1,653	1,972	2,501	3,340
	1,721	2,080	2,831	3,819		1,648	1,965	2,586	3,210
	1,717	2,074	2,819	3,792		1,645	1,960	2,580	3,291

Пример 5. Измерена сила кисти студентов. Получены следующие характеристики:

кг, кг.

Число студентов, участвующих в эксперименте, . Требуется оценить среднее арифметическое генеральной совокупности.

Решение.

1. Выбираем уровень значимости .

2. Так как объем выборки , то, учитывая Замечание, по таблице находим критическое значение .

3. Пользуясь формулой, находим требуемый доверительный интервал:

, или .

4. Изменяем уровень значимости, полагая . Тогда . Следовательно,

, или .

5. Делаем вывод: в 95% случаях среднее значение силы кисти студентов, охваченных исследованием, будет находиться в интервале от 49,67 кг до 50,33 кг, а в 99,9% не выйдет за пределы 49,48 кг50,52 кг.

Статистической называют гипотезу о виде закона распределения или о параметрах известного распределения. В первом случае гипотеза непараметрическая, во втором – параметрическая.

Гипотеза Н₀, подлежащая проверке, называется нулевой (основной). Наряду с нулевой рассматривают гипотезуН₁, которая будет приниматься, если отклоняется Н₀. Такая гипотеза называется альтернативной (конкурирующей). Например, если проверяется гипотеза о равенстве параметра Θ некоторому значению Θ₀, т.е. Н₀: Θ= Θ₀, то в качестве альтернативной могут рассматриваться следующие гипотезы:

; ; ; .

Выбор альтернативной гипотезы определяется конкретной формулировкой задачи.

Гипотезу называют простой, если она содержит одно конкретное предположение. Гипотезу называют сложной, если она состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез (; ; ).

Сущность проверки статистической гипотезы заключается в том, чтобы установить, согласуются или нет данные наблюдений и выдвинутая гипотеза. Эта задача решается с помощью специальных методов математической статистики – методов статической проверки гипотез.

При проверке гипотезы выборочные данные могут противоречить гипотезе Но. Тогда она отклоняется. Если же статистические данные согласуются с выдвинутой гипотезой, то она не отклоняется. В последнем случае часто говорят, что нулевая гипотеза принимается (такая формулировка не совсем точна, однако она широко распространена). Статистическая проверка гипотез на основании выборочных данных неизбежно связана с риском принятия ложного решения. При этом возможны ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза.

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята нулевая гипотеза, в то время как в действительности верна альтернативная гипотеза.

Возможные результаты статистических выводов представлены следующей таблицей:

Результаты про верки гипотезы	Возможные состояния гипотезы
верна Но	верна Н1
Гипотеза Но отклоняется	Ошибка первого рода	Правильный вывод
Гипотеза Но не отклоняется	Правильный вывод	Ошибка второго рода

Последствия указанных ошибок неравнозначны. Первая приводит к более осторожному, консервативному решению, вторая - к неоправданному риску. Что лучше или хуже - зависит от конкретной постановки задачи и содержания нулевой гипотезы. Например, если Но состоит в признании продукции предприятия качественной и допущена ошибка первого рода, то будет забракована годная продукция. Допустив ошибку второго рода, мы отправим потребителю брак. Очевидно, последствия второй ошибки более серьезны с точки зрения имиджа фирмы и ее долгосрочных перспектив.

Исключить ошибки первого и второго рода невозможно в силу ограниченности выборки. Поэтому стремятся минимизировать потери от этих ошибок. Отметим, что одновременное уменьшение вероятностей данных ошибок невозможно, так как задачи их уменьшения являются конкурирующими, и снижение вероятности допустить одну из них влечет за собой увеличение вероятности допустить другую. В большинстве случаев единственный способ уменьшения вероятности ошибок состоит в увеличении объема выборки.

Вероятность совершить ошибку первого рода принято обозначать буквой α, и ее называют уровнем значимости. Вероятность совершить ошибку второго рода обозначают β. Тогда вероятность не совершить ошибку второго рода ( 1- β) называется мощностью критерия.

Обычно значения α задают заранее, «круглыми» числами (например, 0,1; 0,05; 0,01 и т.п.), а затем стремятся построить критерий наибольшей мощности. Таким образом, если α = 0,05, то это означает, что исследователь не хочет совершить ошибку первого рода более чем в 5 случаях из 100.

Общая схема проверки гипотез:

1.Формулировка проверяемой (нулевой - Но) и альтернативной (Н ₁) гипотез.

2.Выбор соответствующего уровня значимости α.

3.Определение объема выборки п.

4.Выбор критерия К для проверки Но.

5.Определение критической области и области принятия гипотезы.

6.Вычисление наблюдаемого значения критерия К_набл.

7. Принятие статистического решения.

Тема 4. Корреляционный и регрессионный анализ

Дата добавления: 2013-12-12