Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим несколько вариантов нахождения интегралов от тригонометрических функций. Для простоты обозначим - функцию с переменными , над которыми выполняются рациональные действия (сложение, вычитание, умножение и деление).

1) вычисление интегралов типа сводится к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой , которая называется универсальной. Действительно, ; ; . Поэтому =, где R₁(t) – рациональная функция от t. Обычно этот способ довольно громоздок, но всегда приводит к определенному результату. На практике применяют и другие более простые подстановки в зависимости от свойств подынтегральной функции.

а) если функция нечетна относительно sinx, т.е. =, то можно применить подстановку cosx=t.

б) если нечетна относительно cosx, т.е. =, то применяют подстановку sinx=t.

в) если функция четная относительно Sinx и Cosx =, то можно использовать подстановку tgx=t. Такая же подстановка используется, если интеграл имеет вид .

г) интеграл типа .

Для нахождения таких интегралов используются следующие приемы:

1. подстановка sinx=t, если n – целое положительное нечетное число.
2. подстановка cosx=t, если m - целое положительное нечетное число.
3. формулы понижения порядка ,,

, если m,n – целые неотрицательные числа.

1. Подстановка tgx=t, если m+n – четное отрицательное целое число.

Пример: ;

Дата добавления: 2013-12-12