Геометрический смысл двойного интеграла

Двойной интеграл. Основные понятия

Кратные интегралы

Лекция 6,7

Формула парабол (Симпсона)

Если заменить график функции на каждом отрезке не отрезками прямых, как в случае формулы трапеции, а дугами парабол, то получим более точную формулу вычисления интеграла .

Выводить мы ее не будем, а ограничимся записью конечного выражения:

- это так называемая формула Симпсона.

Абсолютная погрешность оценивается соотношением, где - максимальное значение .

Обобщением определенного интеграла на случай функции двух переменных является так называемый двойной интеграл.

Пусть в замкнутой области плоскости задана непрерывная функция . Разобьем область на n элементарных областей (рис.1), площади которых обозначим через , а диаметры (наибольшие расстояния между точками области) – через . В каждой области выберем произвольную точку , умножим значение функции в этой точке на и составим сумму всех таких произведений: . Эта сумма называется интегральной суммой в области . Рассмотрим предел интегральной суммы, когда n стремится к бесконечности таким образом, что . Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции по области и обозначается или . Таким образом двойной интеграл определяется равенством . В этом случае функция называется интегрируемой в области , - область интегрирования; х, у – переменные интегрирования, dxdy (или dS) элемент площади.

Для всякой ли функции существует двойной интеграл? Ответ дает следующая теорема:

Теорема. (Достаточное условие интегрируемости функции) Если функция непрерывна в замкнутой области , то она в этой области интегрируема.

Далее мы будем рассматривать только непрерывные функции, хотя двойной интеграл может существовать не только для непрерывных функций.

Рассмотрим задачу по определению объема цилиндрического тела. Пусть это тело ограничено сверху поверхностью ≥0. Снизу замкнутой областью плоскости с боков цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси OZ, а направляющей служит граница области (рис.1). Такое тело называется цилиндрическим. Найдем его объем V. Для этого разобьем область (проекция поверхности на плоскости ) произвольным образом на областей , площади которых равны . Рассмотрим цилиндрические столбцы с основаниями , ограниченные сверху кусками поверхности . На рис.1 один из них выделен. В своей совокупности они составляют тело . Обозначив объем столбика через , получим: .

Возьмем на каждой площади произвольную точку и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием и высотой . Объем этого цилиндра приближено равен объему цилиндрического столбика, т.е. . Тогда получим . Это равенство тем точнее, чем больше число и чем меньше размеры элементарных областей . Естественно принять предел этой суммы при условии, что , а за объем цилиндрического тела, т.е. или записать эту сумму .

Итак, величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела. В этом и состоит геометрический смысл двойного интеграла.

Дата добавления: 2013-12-12