Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов

Рассмотрим некоторые из достаточных признаков сходимости знакоположительных рядов, т.е. рядов с .

Признаки сравнения рядов. Сходимость или расходимость ряда часто устанавливается путем сравнения его с другим (эталонным) рядом, о котором известно сходится он или нет. В основе такого сравнения лежат следующие теоремы.

Теорема 1. пусть даны два знакоположительных ряда и . Если для всех выполняется неравенство , то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Доказательство:

Из неравенства следует (1). Пусть ряд сходится и его сумма равна , тогда . Члены этого ряда положительны, поэтому и, следовательно, с учетом неравенства (1) .таким образом последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху числом . По признаку существования предела последовательности имеет предел , т.е. этот ряд сходится. Если ряд расходится, то, так как члены ряда неотрицательны, то в этом случае . Тогда с учетом соотношения (1) получим, что , т.е. и ряд расходится.

Теорема.2. (предельный признак сравнения). Пусть даны два знакоположительных ряда и .если существует конечный, отмеченный от 0 предел , то ряды и сходятся и расходятся одновременно. (Без доказательств).

Дата добавления: 2013-12-12