Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд

Радикальный признак Коши

Иногда удобно пользоваться радикальным признаком Коши для исследования сходимости знакоположительного ряда. Этот признак во многом схож с признаком Даламбера.

Теорема. Пусть дан ряд с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел . Тогда ряд сходится при и расходится при .

При вопрос о сходимости остается открытым. (Без доказательства).

Пример. Исследовать на сходимость ряд . Так как , то применим признак Коши к ряду . Вычисляем , т.е. этот ряд сходится, значит, сходится и исходный ряд согласно свойству 1 числовых рядов.

Теорема. Если члены знакоположительного ряда могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывно монотонно убывающей на промежутке функции так, что то

1) если сходится, то сходится и ряд .

2) если расходится, то расходится также и ряд .

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции , основанием которой служит отрезок оси от до (рис.1). Построим входящие и выходящие прямоугольники, основаниями которых служат отрезки . Учитывая геометрический смысл определенного интеграла можно записать или или (1).

Случай 1. несобственный интеграл сходится, т.е. . Поскольку <, то с учетом неравенства (1) имеем , т.е. .Так как последовательность частичных сумм монотонно возрастает и ограничена сверху (числом ), то по признаку существования предела, имеет предел. Следовательно, ряд сходится.

Случай 2. Несобственный интеграл расходится, тогда и интеграл неограниченно возрастает при . Учитывая, что (см. 1) получаем, что при . Следовательно, ряд расходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд . Воспользуемся интегральным признаком Коши. Функция удовлетворяет условиям теоремы. Поэтому находим . Значит, ряд с общим членом расходится. Ряд , где – действительное число называется обобщенным гармоническим рядом. Для исследования этого ряда на сходимость применим интегральный признак Коши. Рассмотрим функцию . Эта функция непрерывна, монотонно убывает на промежутке и . При имеем: . При имеем гармонический ряд , который расходится (второй способ ). Итак, гармонический ряд сходится при , расходится при .

Рассмотренные признаки сходимости знакоположительных рядов позволяют судить о сходимости практически любого положительного ряда.

Дата добавления: 2013-12-12