Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов

Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда. Числовой ряд , содержащий бесконечное множество положительных и бесконечных множеств отрицательных членов, называется знакопеременным. Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости.

Теорема. Пусть дан знакопеременный ряд . Если сходится ряд , составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд.

Доказательство:

Рассмотри вспомогательный ряд, составленный из членов рядов и .

.

Очевидно, что для всех , но ряд сходится в силу условий теоремы и свойства 1 числовых рядов. Следовательно, на основании признака сравнения сходится и ряд . Поскольку данный знакопеременный ряд представляет собой разность двух сходящихся рядов , то на основании свойства 2 числовых рядов ряд сходится.

Отметим, что обратное утверждение несправедливо: если сходится ряд , то это не означает, что сходится ряд .

Пример.

Исследовать сходимость ряда . Для этого ряда выполнены условия признака Лейбница. Следовательно, ряд сходится. Однако ряд, составленный из модулей членов этого ряда, т.е. расходится (гармонический ряд).

Дата добавления: 2013-12-12