Решение путем понижения порядка уравнения.

Суть этого метода состоит в том, что с помощью замены переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению порядок которого ниже.

Рассмотрим три вида уравнений решенных таким способом.

1)

Порядок этого уравнения можно легко понизить введя такую, что , тогда и после подстановки получим ,

решив его, найдем и тогда решая получим общее решение первоначального уравнения .

На практике можно понизить порядок путем последовательного интегрирования уравнения. Т.к. , то наше уравнение можно записать в виде , тогда интегрируя уравнение получим или

Интегрируя последнее уравнение по х найдем

т.е. - общее решение данного уравнения.

Если дано уравнение ,то проинтегрировав его последовательно n раз,найдем общее решение уравнения:

Пример:

- общее решение.

2) .

Обозначим ,где - новая неизвестная функция. Тогда и наше уравнение примет вид: . Пусть - общее решение полученного уравнения. Тогда заменяя Р на получаем . Это уравнение можно интегрировать . Частным случаем рассмотренного уравнения является . Оно интегрируется тем же способом: . Получаем с разделяющимися переменными.

Если задано уравнение вида б то его порядок можно понизить на k единиц положив .Тогда и уравнение примет вид

Частным случаем последнего уравнения служит или . С помощью замены это уравнение сводится к ДУ первого порядка.

Пример: Полагая получим - уравнение с разделяющимися переменными интегрируя получим , возвращаясь к исходной переменной

3) Уравнение вида .

Для понижения порядка этого уравнения введем функцию зависящую от переменной ,полагая . Дифференцируя это равенство по с учетом, что получим , т.е.

тогда после подстановки получим . Пусть является общим решением этого уравнения. Заменяя функцию на получаем - ДУ с разделяющимися переменными. Интегрируя его найдем общий интеграл нашего уравнения. . Частным случаем ДУ является уравнение .Это уравнение решается при помощи аналогичной подстановки и .

Точно также решается уравнение , его порядок понижается на единицу заменой по правилу дифференцирования сложной функции .

и т.д.

Дата добавления: 2013-12-12