Список использованной для лекций и рекомендуемой литературы

Векторная оптимизация технического решения

В последнее время для анализа сложных систем и оценки их эффективности применяют теорию векторной оптимизации. В отличие от скалярной оптимизации, при которой оптимизируемая функция характеризуется единственным показателем, при векторной оптимизации система описывается вектором показателей качества. Очевидно, что определение эффективности системы с учетом множества основных показателей должно обеспечить наиболее объективную оценку принимаемых решений. Необходимо, однако, отметить, что к настоящему времени теорию векторной оптимизации нельзя считать завершенной. Трудности, которые встречаются в ее разработке и применении, обусловлены самой сущностью проблемы. Это вызвано сложностью сравнения векторов. В общем случае, сложная система характеризуется совокупностью показателей качества {Кi}, i=1, n. Эту совокупность представим в виде вектора, т. е. упорядоченного множества переменных К — <K1,K2,...,Kn>. Так как компоненты вектора К представляют собой числа, то очевидно, что проблема сравнительного анализа эффективности различных систем будет связана с проблемой упорядочивания чисел. Будем считать, что сравниваемые системы с номерами i и j характеризуются векторами Ki=<K1, К2,..., Кm>, Kj=<K^/1,K^/2,...,K^/n>.При одинаковых размерностях векторов, т. е. при n = m, наиболее эффективную систему выбирают в соответствии с критерием Парето:

если "l = 1, n Kl ³ K^/l, то и Кi ³ Кj

если "l = 1, n Kl £ K^/l, то и Кi £ Кj

если "l = 1, n Kl = K^/l, то и Кi = Кj

Иначе говоря, если при сравнении векторов одинаковой размерности все компоненты одного вектора не меньше (не больше) или равны компонентам другого вектора, то и сами векторы соответственно не меньше (не больше) или равны один другому. Если некоторые компоненты вектора Ki превышают компоненты вектора Кj а другие компоненты Ki меньше компонентов Kj, то такие векторы считают несравнимыми. Данный метод сравнения векторов имеет следующие недостатки: — нельзя сравнивать векторы неодинаковой размерности; — даже векторы одинаковый размерности могут быть несравнимыми. При векторной оптимизации систем применяют также методы, основанные на сравнении некоторых характе­ристик, производных от векторов. Один из подобных методов основан на сравнении норм (длин) векторов. Норма конечномерного вектора определяется по формуле

|| K || = (SKi²)^1/е

где е—основание натуральных логарифмов. Если || Ki || < || Kj || то и Кi < Кj. При следующем методе сравнивают линейные формы векторов

Ф(К) = SPiKi

Pi — некоторые заданные числа, представляющие весовые оценки составляющих Кi, i = 1, n вектора К. Если Ф(Кi)>Ф(Кj),то Кi > Кj. К недостаткам методов сравнения векторов, основанных на применении норм и линейных форм, отнесем:

потерю информации «о вкладе» каждого из компонентов вектора в норму или линейную форму;

трудности, возникающие при выборе и обосновании весовых оценок в линейной форме.

Достоинством методов является то, что при их использовании векторы всегда линейно упорядочены, так как их сравнивают по результирующим показателям, представляющим линейно упорядоченные числа.

Следующим направлением анализа рассматриваемой проблемы является переход от решения векторных к скалярным. К методам скаляризации векторных задач относятся: перевод всех показателей качества, кроме одного, в разряд ограничений; введение показателя эффективности; минимаксный и др. Следует заметить, что имеется несколько различных толкований сущности проблемы оценки эффективности принимаемых решений по нескольким показателям качества. При одном из подходов анализируют векторные задачи оптимизации. Он характерен, например, для ситуаций, когда результирующая целевая функция формируется из множества технических показателей. Такой подход применим при построении и анализе формальных моделей без достаточного учета экономических показателей систем. При втором подходе к показателям качества, из которых формируется результирующий критерий эффективности, относят преимущественно экономические показатели: капитальные вложения, себестоимость продукции и т. д. Такой подход применим при экономических исследованиях. В чем же различие указанных направлений решения задач оптимизации технических систем? При первом подходе необходимость векторной оптимизации очевидна, во втором—она не всегда применима, так как изменения технических параметров находят свое выражение в стоимостных показателях. Например, повышение надежности аппаратуры обеспечивает экономию эксплуатационных расходов. Увеличение дальности связи позволяет снизить мощность передающих устройств и как следствие их стоимость, и т. д. Таким образом, в результате технико-экономического анализа во многих случаях результирующий критерий эффективности может быть представлен в стоимостном выраже­нии. При этом задачи оптимизации систем удается представить в скалярной форме. В общем случае можно утверждать, что задачи оптимизации сложных систем являются векторными (хотя в ряде случаев они могут быть решены скалярными методами). Это утверждение базируется на том, что не все составляющие эффекта и затрат могут быть представлены и стоимостном выражении. К таким составляющим можно отнести: научные знания, уровень медицинского обслуживания, людские ресурсы, воздействие функционирования систем на окружающую среду и др. Многие из показателей качества противоречивы, так что улучшение отдельных показателей может привести к ухудшению остальных. Например, улучшение условий труда обслуживающего персонала во многих случаях связана с дополнительными затратами. Возникают задачи отыскания компромиссных решений с учетом нескольких целевых функций при наличии ограничений на ресурсы, условия эксплуатации и т. д. Можно показать, что технико-экономический подход рассматриваемой проблеме во многих случаях позволяет значительно уменьшить размерность векторных задач оптимизации. Допустим, что система характеризуется множеством М показателей качества. Выделим в этом множестве два подмножества: показатели эффекта системы Мэ, и показатели затрат Мw. При этом будут выполняться условия

М = Мэ È Мw

Мэ Ç Мw = Æ

т.е. множество М включает все показатели, относящиеся к подмножествам Мэ и Мw, а пересечение указанных подмножеств является пустым. Будем считать, что сравнительная оценка эффективности систем с номерами i и j и осуществляется на основе принципа минимума затрат. при этом выполняются соотношения

Мэi ¹ Мэj Мwi ¹ Мwj

т е. системы i и j отличаются как по эффекту, так и по штрафам. Приведя варианты в сопоставимый вид по эффекту (например, обеспечив равенство Мэi = Мэj), придем к необходимости сравнивать векторы показателей затрат M*wi и M*wj. Очевидно, что число показателей сравниваемых систем, приводимых в сопоставимый вид, M*wi и M*wj меньше числа показателей, которые включают исходные множества. В частном случае, который часто встречается на практике, может оказаться, что M*wi и M*wj составляют единственный показатель (например, приведенные годовые затраты системы).

При использовании принципа максимума эффекта сравниваемые системы приводят в сопоставимый вид по затратам (например, добиваясь выполнения равенства Mwi = Mwj). В данном случае задача сводится к сравне­нию совокупностей показателей эффекта M*эi и М*эj. Таким образом, при оценке эффективности системы по нескольким показателям качества можно рекомендовать следующую процедуру выбора наиболее эффективных вариантов технических решений:

определение возможных и допустимых по условиям задачи вариантов построения системы;

выявление множества основных показателей качества сравниваемых систем, включающих показатели эффекта и затрат;

определение множества систем на основе критерия Парето (в частном случае это множество будет содержать одну наиболее эффективную систему);

приведение систем, несравнимых по критерию Парето, в сопоставимый вид на основе принципа минимума затрат или принципа максимума эффекта;

выбор наиболее эффективного решения методом сравнивания либо векторов показателей систем, либо скаляризацией задачи.

1. Гуткин Л.С. Оптимизация радиоэлектронных устройств по совокупности показателей качества. — М.: Сов. радио, 1975.—368с.

2. Кац Г.Б., Ковалев А.П. Технико-экономический анализ и оптимизация конструкций машин. — М.: Машиностроение, 1981.—214с.

3. Ковалев А.П. Обеспечение экономичности разрабатываемых изделий машиностроения. — М.: Машиностроение, 1986.—152с.

4. Моисеева Н.К. Выбор технических решений при создании новых изделий. —М.: Машиностроение, 1980. — 158 с.

5. Моисеева М.К., Карпунин М.Г. Основы теории и практики функционально-стоимостного анализа: Учебное пособие. —М.: Высшая школа., 1988.—192с.

6. Мымрин Ю.Н., Малахов И.Н. Выбор и оптимизация технико-экономических показателей машин при разработке технического задания. —М.: Машиностроение, 1988. — 104 с.

7. Расчеты экономической эффективности новой техники / Под ред. К.М. Великанова. — Л.: Машиностроение, 1990. — 448с.

8. Старик Д.Э., Радченко В.И., Сергеев С.А. Экономическая эффективность машин: критерии и методы оценки. — М.: Машиностроение, 1991. —208 с.

9. Технико-экономический анализ машин и приборов / Под ред. М.И. Ипатова и В.И. Постникова. — М.: Машино строение, 1985. — 248 с.

10. Юрлов Ф.Ф. Технико-экономическая эффективность сложных радиотехнических систем. - М.: Сов. радио, 1980. - 280 с.

11. Бешелев С.Д. Математико-статистические методы экспертных оценок. - М.: - Cтатистика, 1980. - 208 с.

12. Методические рекомендации по определению сравнительной экономической эффективности новой техники. - Л.: - Знание, 1989

13. Лескин А.А., Мальцев В.Н. Системы поддержки управленческих и проектных решений. - Л.: Машиностроение, 1990. - 167 с.

Дата добавления: 2013-12-12