Замыкание закона сохранения массы

Уравнение (4) содержит три неизвестных величины - . Следовательно, для замыкания модели необходимо привлечь какие-то дополнительные соображения о характере процесса. Их дает полуэмпирический закон Дарси:

, , (5)

где - давление жидкости, - коэффициент, определяемый свойствами грунта. Согласно закону Дарси компоненты скорости течения жидкости пропорциональны соответствующим компонентам градиента давления. Замети, что по своему физическому смыслу градиент давления – это сила (отнесенная к единицы объема). В т же время согласно закону Ньютона действующая на тело сила пропорционально его ускорению, а не скорости, как в законе Дарси. Однако данное противоречие кажущееся, как при течении через грунт (фильтрации) жидкость преодолевает сопротивление его частиц, в отличие от свободного течения (уравнение движения жидкости).

В формуле (5) имеется новая неизвестная величина – давление жидкости. Ее связь с уже введенными величинами нетрудно найти, приняв предложение о медленном и почти горизонтальном течении воды. Тогда динамической составляющей давления можно пренебречь и вычислить его по чисто гидростатическому закону как давление, создаваемое столбом жидкости:

,

где – давление на поверхности жидкости (например, атмосферное), - ускорение свободного падения. Подставляя последнюю формулу в (5) получаем

, , (6)

и, используя (6) в уравнении неразрывности (4), окончательно приходим к уравнению движения грунтовых вод

, (7)

,

или, к уравнению Буссинеска, содержащему лишь одну неизвестную функцию .

Дата добавления: 2013-12-12