Случайные переменные. Если события A и B независимы, то исходы опыта, в которых случается A, не влияют на исходы, в которых случается B

Условные вероятности

Если события A и B независимы, то исходы опыта, в которых случается A, не влияют на исходы, в которых случается B. Однако это может быть не так.

Например, пусть в урне находится M шаров, из них m шаров R и M ‑ m шаров G. Пусть событие A заключается в том, что извлечен R шар. Пусть событие B заключается в том, что извлечен R шар из той же урны после того, как из нее вынут один любой шар. В данном случае вероятность B будет зависеть от A.

Если первый вынутый шар был R, случилось A, то R шаров стало m ‑ 1. Тогда вероятность события B равна (m ‑ 1)/(M ‑ 1). Если первым вынули шар G, то произошло событие ` A, и вероятность B равна m/(M‑1). Непосредственно видно, что вероятность события B меняется в зависимости от того, случилось A или нет.

Вероятность события B при условии, что произошло A, называется условной вероятностью и обозначается p(B|A). В рассмотренном примере p(B|A) = (m‑1)/(M‑1) < m/M = p(B), p(B|`A) = m/(M‑1) > m/M =p(B).

Для условных вероятностей справедливо выражение

(7)

Для условных вероятностей справедливы следующие свойства

P(B|A) Î [0; 1];

;

.

Если A и B несовместны, то

Если B и C несовместны, то

Пусть случайная переменная представляет функциональное отношение между случайным событием и действительным числом. Для удобства записи обозначим случайную переменную через, а ее функциональную зависимость от будем считать явной. Случайная переменная может быть дискретной или непрерывной. Функция распределения случайной переменной X описывается выражением

, (8)

где — вероятность того, что значение, принимаемое случайной переменной, меньше действительного числа или равно ему. Функция распределения имеет следующие свойства:

1. 0 £ F_X(x)£ 1

2. F_X(x₁) £ F_X(x₂), если х₁ £ х₂

3. F_X(-∞) = 0

4. F_X(+∞) = 1

Еще одной полезной функцией, связанной со случайной переменной X, является плотность распределения вероятности (плотность вероятности), которая записывается следующим образом:

(9)

Как и в случае функции распределения, плотность вероятности — это функция действительного числа х. Название "функция плотности" появилось вследствие того, что вероятность события x₁ £ X £ x₂ равна следующему:

(10)

Используя уравнение (9), можно приближенно записать вероятность того, что случайная переменная X имеет значение, принадлежащее очень узкому промежутку между х и х + Δх:

(11)

Таким образом, в пределе при Δх®0, мы можем записать следующее:

Р(Х=х) = p_X(х)dх. (12)

Плотность вероятности имеет следующие свойства:

·;

·.

Таким образом, плотность вероятности всегда неотрицательна и имеет единичную площадь.

Дата добавления: 2013-12-12