Теорема Больцано-Вейерштрасса

Компакты в пространстве. Критерий компактности множества

План

1. Компакты в пространстве. Критерий компактности множества
2. Теорема Больцано-Вейерштрасса
3. Векторные последовательности. Понятие предела векторной последовательности
4. Простейшие свойства пределов векторных последовательностей
5. Фундаментальные последовательности. Подпоследовательности

Пусть дана совокупность открытых множеств в пространстве.

Определение 1. Говорят, что совокупность множеств покрывает множество, если.

Определение 2. Множество называется компактным множеством, или компактом, если из каждой бесконечной совокупности открытых множеств, которая покрывает множество, можно выделить конечную совокупность, которая тоже покрывает множество.

Пример. Пусть. По лемме Бореля из каждой бесконечной системы интервалов, которая покрывает, можно выделить конечную подсистему, которая покрывает, поэтому - компакт.

Определение 3. Замкнутым параллелепипедом в пространстве называется множество точек, которые удовлетворяют условиям:

.

Замечание. Можно показать, что замкнутый параллелепипед является компактом.

Определение 4. Множество называется ограниченным, если существует шар, который содержит это множество.

Теорема 1. Для того, чтобы множество было компактом, необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнутым и ограниченным.

Теорема 2 (Больцано-Вейерштрасса). Любое бесконечное ограниченное множество имеет хотя бы одну предельную точку.

Доказательство. Предположим, что это не так: бесконечное ограниченное множество не имеет ни одной предельной точки. Тогда можно сказать, что содержит в себе все свои предельные точки, т.е. является замкнутым. Поскольку множество замкнуто и ограничено, оно компактно. Для каждой точки множества можно построить шар, который не содержит других точек, поскольку каждая точка не является предельной для этого множества. Совокупность таких шаров является бесконечной и покрывает, но из этой совокупности невозможно выделить конечную совокупность, которая покрывает. Это противоречит компактности множества. Наше предположение является ошибочным.

Дата добавления: 2013-12-12