Простейшие свойства пределов векторных последовательностей

Векторные последовательности. Понятие предела векторной последовательности

Пусть каждому ставится в соответствие некоторая точка (или вектор). Тогда говорят, что в пространстве определена векторная последовательность.

Определение 5. Точка называется пределом векторной последовательности и обозначается:, если

для, что для выполняется:.

Геометрический смысл: Точка является пределом векторной последовательности, если любая окрестность точки в пространстве содержит бесконечно много элементов последовательности, а вне окрестности их может быть лишь конечное количество.

Пример. Пусть дана векторная последовательность, для которой. Доказать, что.

По определению 5 надо показать, что

, что для:.

.

Если, то:

.

Таким образом, неравенство выполняется для бесконечного количества элементов последовательности, номера которых, что и нужно было доказать.

Теорема 3. Если имеет предел, то этот предел единственный.

Доказательство. Самостоятельно.

Определение 6. Последовательность называется ограниченной, если существует такой шар, который содержит все элементы этой последовательности, т.е. для элементов последовательности выполняется неравенство.

Теорема 4. Пусть сходится, тогда - ограниченная последовательность.

Замечание. Не любая ограниченная последовательность является сходящейся.

Теорема 5 (о покоординатной сходимости). Для того, чтобы,,сходилась к необходимо и достаточно, чтобы для каждого значения соответствующая числовая последовательность координат.

Доказательство. Необходимость. Пусть. По определению предела векторной последовательности это означает, что

для, что для выполняется:.

Возьмем произвольно конкретное значение. Пусть. Тогда

,

а это по определению предела числовой последовательности и означает, что.

Достаточность. Пусть для:.

,

,

...

.

Пусть. Тогда для и для все предыдущие неравенства выполняются одновременно, а тогда:

,

Т.е.,

что говорит о том, что.

Теорема 6. Пусть, - векторные последовательности в пространстве, и,. Тогда последовательности, (тут - скалярное произведение) также являются сходящимися и

,.

Дата добавления: 2013-12-12