Ранг матрицы

Def. Ранг системы векторов – наибольшее число линейно независимых векторов этой системы (т.е. размерность линейной оболочки этих векторов).

Def. Рангом матрицы А называется ранг системы ее столбцов. Обозначается ранг матрицы r(A).

Th.7.9

(о ранге матрицы) Ранг матрицы равен наибольшему порядку отличных от нуля миноров.

Доказательство.

Пусть наибольший порядок миноров, отличных от нуля, равен r и этот минор М расположен в левом верхнем углу (7.3).

(7.4)

Т.к. , то согласно теореме 7.8. его столбцы линейно независимы. Значит и столбцы 1, 2, …, r матрицы А. Действительно, если бы они были линейно зависимыми, то эта зависимость сохранилась бы и для столбцов минора М. Докажем, что произвольный столбец является линейной комбинацией столбцов 1, 2, …, r.

Построим вспомогательный определитель окаймлением минора М элементами -го столбца и i -ой строки:

(7.5)

Если , то , т.к. содержит одинаковые строки. Если же , то - минор r+ 1 – го порядка, а наибольший отличный от нуля минор имеет порядок r, следовательно, .

Разложим по присоединенной строке.

.

Заметим, что .

Кроме того,

не зависит от выбранной строки i. Обозначим .Тогда:

.

Отсюда . Таким образом, l -ый столбец является линейной комбинацией столбцов 1, 2, …, r .

Следствие 1. Ранг системы векторов равен рангу системы строк и равен наибольшему порядку отличных от нуля миноров

Def. Минор наибольшего порядка, отличный от нуля называется базисным минором, а строки и столбцы, которые его содержат, называют базисными строками и столбцами.

Следствие 2. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Следствие 3. Отбрасывание нулевой строки (столбца) или одной из двух равных строк (столбцов) не меняет ранга матрицы.

Следствие 4. Отбрасывание строки (столбца), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) не меняет ранга матрицы.

Следствие 5. Если матрица А имеет ступенчатый вид, то ее ранг равен числу ненулевых строк.

Дата добавления: 2013-12-12