КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Алгебраическая форма записи комплексных чисел
Свойства операции над комплексными числами. Поле комплексных чисел Рассмотрим множества N, Z, Q, R. Рассмотрим уравнение вида . В случае, если , то Таким образом, отыскание решений уравнения приводит к расширению множества N до множества Z. Рассмотрим уравнение Решение уравнения приводит к переходу к множеству Q. Аналогично решение уравнений приводит к множеству R. Необходимость решать уравнение типа приводит к необходимости дальнейшего расширения множества чисел. Поставим задачу построить новую систему чисел, которая бы содержала решения уравнения и являлась бы расширением множества R. Def. Пару действительных чисел назовем комплексным числом. Для построения новой числовой системы необходимо определить основные операции над ее элементами: 1) (8.1) 2) ; (8.2) 3) ; (8.3)
Доказательство. Свойства 1-3, 5 очевидны, они вытекают непосредственно из определения операций сложения и умножения комплексных чисел. Докажем остальные свойства. Свойство 4. Пусть , тогда . Действительно, . Свойство 6. Пусть . . . Значит, . Свойство 7. Доказывается аналогично свойству 6. Свойство 8. Докажем, что существует единственный единичный элемент Необходимо найти такой элемент , что . Имеем . Отсюда получаем систему линейных уравнений: Значит, - единственный единичный элемент . Свойство 9. Найдем обратный элемент для . Отсюда: Решим полученную СЛУ по формулам Крамера. (т.к. ), . Имеем, . Значит, . Def. Под разностью комплексных чисел и будем понимать комплексное число, которое получается следующим образом:
(8.4) Т.к. для каждого комплексного числа противоположный элемент определен однозначно, то и операция вычитания определена однозначно. Def. Число называют частным от деления числа на число , если . Пусть . Тогда . Составим систему уравнений: Система будет иметь единственное решение, если , т.е В этом случае Таким образом, получаем (8.5) Нетрудно проверить, что (сделайте это самостоятельно). Итак, определены основные операции на множестве комплексных чисел и, следовательно, завершено построение системы комплексных чисел. Свойства введенных операций над комплексными числами позволяют сделать вывод о том, что множество комплексных чисел является полем. Поле комплексных чисел обозначают большой латинской буквой С. Проверим действие введенных операций на множестве действительных чисел. Пару отождествим с действительным числом Применим к и те арифметические операции, которые были определены на множестве комплексных чисел. Из (8.2 – 8.5) получаем: ; . Таким образом, применение операций на множестве С дает те же результаты, что и соответствующие операции на R. Следовательно С есть алгебраическое расширение множества R.
Обозначим . Тогда . Таким образом, число i является корнем уравнения Перейдем к другой, более удобной форме записи комплексных чисел. Очевидно, . Def. Если комплексное число записано в виде , то такую форму записи называют алгебраической формой записи комплексного числа. Число i называют мнимой единицей, действительной частью числа z , мнимой частью числа z Числа вида называют чисто мнимыми числами. Def. Пусть . Числом, сопряженным z, называется число Операции 8.2 - 8.5 определяются для комплексных чисел, записанных в алгебраической форме следующим образом: ; (8.6) ; (8.7) ; (8.8) (8.9)
Нет необходимости запоминать эти формулы. Можно заметить, что достаточно лишь раскрыть скобки и привести подобные слагаемые относительно действительных и мнимых частей. При умножении комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, следует формально перемножить выражения (как двучлен на двучлен), учитывая, что , а затем выделить действительную и мнимую части полученной суммы.
Выполнение операции деления легко формализуется, если предварительно числитель и знаменатель умножить на число сопряженное с числителем. Действительно, N. 1) 2)
Доказательство. 1. . 2.
Таким образом, . 3. Таким образом, . 4. Таким образом, .
Дата добавления: 2013-12-12; Просмотров: 1080; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |