Проекция вектора на ось

ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Def. Прямая называется осью, если на ней задано положительное направ­ление. Направление оси задается вектором (направляющий вектор оси).

Def. Пусть задана некоторая ось и точка Проведем Точка называется проекцией точки на ось (рис. 11.1)

Def. Пусть - проекция точки на ось а - проекция точки на ось (рис. 11.2)Тогда называется векторной проекцией на ось (на вектор ).

Def. Скалярной проекцией (или проекцией) вектора на ось (на вектор ) называется число, равное и взятое со знаком плюс, если и со знаком минус, если Обозначают или . Т.е.

(11.1)

Легко видеть, что если

Рис. 11.1

Рис. 11.2

Рис. 11.3

Th.11.1

(свойства проекции вектора на ось) 1. Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью, т.е. (11.2) 2. При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число, т.е. (11.3) 3. Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых, т.е. (11.4)

Доказательство.

1. Действительно, пусть уго между и Если (рис. 11.3), то , поэтому

Если (рис. 11.4), то и .

Рис. 11.4

2. Если то (рис. 11.5). Тогда:

.

Если то (рис. 11.6). В этом случае имеем:

.

Рис. 11.5

Рис. 11.6

Рис. 11.7

3. Доказательство проведем для двух слагаемых. Возможны два случая.

Если проекции обоих векторов положительные числа (рис. 11.7), то .

Если одна из проекций отрицательна (рис. 11.8), то Что и требовалось доказать . Замечание. Данное свойство можно обобщить на любое конечное число слагаемых.

Рис. 11.8

Дата добавления: 2013-12-12