Расстояние от точки до плоскости

Взаимное расположение плоскостей в пространстве.

Рассмотрим плоскости и Их взаимное расположение характеризуется углом между ними. Этот угол однозначно определяется углом между нормальными векторами этих плоскостей и Обозначим через - угол между нормальными векторами. Тогда:

(14.8)

Замечание. Обратим внимание, что угол между плоскостями не обязательно равен , он может быть равен и (рис. 14.4-14.5).

Рис. 14.4

Рис. 14.5

Таким образом, формула (14.8) определяет значение косинуса угла между плоскостями с точностью до знака. Косинус острого угла между плоскостями и может быть найден по формуле:

(14.9)

Заметим, что

.

Пусть в пространстве задана плоскость и точка Найдем расстояние от точки до плоскости Очевидно, что какова бы ни была точка плоскости (рис. 14.6), справедливо соотношение: где

Рис. 14.6

Поскольку то

Тогда:

Таким образом, имеем:

(14.10)

Замечание. Если нормальный вектор плоскости отложен от некоторой точки прямой, то для всех точек , которые лежат в одной полуплоскости с концом вектора , а для всех точек, лежащий в другой полуплоскости, Таким образом, для точек, лежащих в одной из полуплоскостей, на которые разбивает координатную плоскость прямая, а для точек другой полуплоскости

N. Две грани куба лежат в плоскостяхи Найти объем куба.

Решение.

Т.к. то Значит, в условии речь идет о противоположных гранях куба. Ребро куба равно расстоянию между этими плоскостями. Для его нахождения выберем произвольную точку плоскости и вычислим расстояние от нее до плоскости

Пусть точка Значит, ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости

Найдем расстояние от точки до плоскости по формуле (14.10).

Таким образом, и

Ответ.

Дата добавления: 2013-12-12