Эллиптический параболоид

Def. Если в гипербодоиде (18.6) в сечении плоскостями получаются окружности, то его называют двухполостным гиперболоидом вращения.

Def. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

(18.8)

Исследуем форму эллиптического параболоида.

1. Из уравнения (18.8) видно, что координатные плоскости и являются плоскостями симметрии эллиптического параболоида, а ось– его осью симметрии. При эллиптический параболоид расположен в полупространстве а при – в полупространстве

2. Исследуем форму эллиптическогопараболоида при по его сечениям координатными плоскостями и параллельными им плоскостями. Уравнениями линии пересечения эллиптического параболоида с плоскостью будут

Это уравнение определяет точку – начало координат.

Уравнения линий пересечения данного параболоида с плоскостями параллельными координатной плоскости имеют вид

(18.9)

Это эллипсы с полуосями и Причем при возрастании полуоси эллипса неограниченно возрастают.

3. Линией пересечения эллиптического параболоида (18.8) с плоскостью будет парабола

(18.10)

Аналогично линией пересечения эллиптического параболоида (18.8) с плоскостью - парабола

(18.11)

Плоскость пересекает данный параболоид по линии, которая задается уравнением

или

(18.12)

Уравнение (18.12) задает параболу. Эта парабола получается из параболы (18.10) с помощью параллельного переноса, при котором вершина параболы перемещается из точки в точку Таким образом, эллипти­ческий параболоид (18.8) может быть образован путем параллельного пере­носа параболы (18.10), при котором ее вершина движется по параболе (18.11).

Аналогичными рассуждениями устанавливаем, что плоскость пересекает эллиптический параболоид по параболе

которая представляет собой результат параллельного переноса параболы (18.11), при котором ее вершина перемещается из точки в точку Значит, параболоид (18.8) может быть образован также путем параллельного переноса параболы (18.11), при котором ее вершина движется по параболе (18.10). Эллиптический параболоид изображен на рис. 18.4.

Рис. 18.4

Дата добавления: 2013-12-12