Уравнение Шрёдингера

Квантовая механика является фундаментом изучения строения вещества, она позволила выяснить природу химической связи и объяснить периодическую систему элементов. Только на основе квантовой механики удалось объяснить такие явления как ферромагнетизм, сверхтекучесть и сверхпроводимость.

Одной из задач квантовой механики является определение вероятности нахождения какой-то микрочастицы (электрона, протона и др.) в некоторой системе, например, в атоме, т.е. нахождение волновой функции, или точнее — . В квантовой механике существует основное уравнение, называемое уравнением Шрёдингера, решая которое можно это сделать. Данное уравнение играет такую же фундаментальную роль, как второй закон Ньютона в механике. Уравнение Шредингера не выводится (так же, как не выводятся и законы Ньютона), а постулируется. Однако понять, почему оно имеет такой, а не другой вид, можно, исходя из аналогии механики и классической волновой теории. В самом общем случае волновая функция зависит как от координат, так и от времени. Рассмотрим случай стационарной системы, т.е. системы, не меняющейся со временем, какой, например, является атом в обычном не возбуждённом состоянии. В этом случае уравнение Шрёдингера выглядит наиболее просто (для одной координаты):

(14)

В трёхмерном случае:

(15)

где ¾ оператор Лапласа, W — полная энергия системы, U ¾ потенциальная энергия системы, m ¾ масса частицы, h ¾ постоянная Планка

С математической точки зрения оно является уравнением в частных производных. Из этого уравнения вытекает квантование энергии. Оказывается, что уравнение Шрёдингера, составленное для какой-то атомной системы, имеет решение не при любых значениях полной механической энергии W, а лишь при некоторых вполне определённых дискретных значениях W ₁, W ₂,…, W _n, которые называются собственными значениями энергии. Каждому собственному значению энергии соответствует своё решение, т.е. своя функция y, называемая собственной функцией. Таким образом, в процессе решения уравнения Шрёдингера находится энергия атомной системы, а пси-функция, которой определяет вероятность местонахождения частиц системы. Нахождение собственных значений энергии собственных функций, как правило, представляет весьма трудную математическую задачу. Поэтому точно аналитически решается только задача об атоме водорода. Другие более сложные случаи решаются численными методами на ЭВМ.

ЛЕКЦИЯ №16

ЭЛЕМЕНТЫ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ

СОСТАВ АТОМНОГО ЯДРА

Атомное ядро состоит из нейтронов и протонов. Элементарные частицы, образующие ядра (нейтроны и протоны), называются нуклонами. Протон (ядро атома водорода) обладает положительным зарядом, равным заряду электрона. Его масса в 1836 раз больше массы электрона. Нейтрон — электрически нейтральная частица с массой примерно равной 1839 масс электрона.

Количество протонов Z в ядре нейтрального атома равно числу электронов в его электронной оболочке и определяет его заряд, равный +Ze. Число Z называется зарядовым числом. Оно определяет порядковый номер химического элемента периодической системы Менделеева. N — число нейтронов в ядре. A — массовое число, равное суммарному количеству протонов Z и нейтронов N в ядре. Ядро атома обозначается тем же символом, что и химический элемент, снабжаясь двумя индексами, из которых верхний обозначает массовое, а нижний — зарядовое число, т.е. где Х — символ химического элемента. Например, .

Изотопами называются ядра с одним и тем же зарядовым числом и различными массовыми числами. Например, водород имеет три изотопа: протий (), дейтерий () и тритий ().Изотопы обладают одинаковыми химическими свойствами и почти одинаковыми физическими свойствами. Исключение составляют, например, изотопы водорода, кальция и др.

ЯДЕРНЫЕ СИЛЫ.

Атомные ядра представляют собой устойчивые образования, несмотря на то, что между протонами существует сильное отталкивание. Устойчивость ядер свидетельствует, что между нуклонами в ядре действуют силы притяжения, превосходящие силы электростатического отталкивания протонов. Их назвали ядерными силами. Эти силы обладают рядом особенностей:

1) Они являются только силами притяжения и значительно сильнее электростатического отталкивания протонов.

2) Эти силы короткодействующие. Расстояние, на котором ещё действуют ядерные силы, называют радиусом действия этих сил. Он равен примерно 1,5·10^–15 м.

3) Ядерные силы являются зарядово-независимыми. Это означает, что взаимодействие двух нуклонов совсем не зависит от того, обладают или не обладают они зарядом. Ядерные силы между двумя протонами, или двумя нейтронами, или протоном и нейтроном одинаковы

ЭНЕРГИЯ СВЯЗИ ЯДРА

Для расщепления ядра на составляющие его нуклоны, необходимо затратить определённую энергию, называемую энергией связи ядра.

Оценим энергию связи атомных ядер. Пусть масса покоя нуклонов, из которых образуется ядро, равна m ₁. Согласно специальной теории относительности, ей соответствует энергия  _, рассчитываемая по формуле  _ = m ₁ c ², где c — скорость света в вакууме. После образования ядро обладает энергией _ = Mc ². Здесь M — масса ядра. Измерения показывают, что масса покоя ядра всегда меньше, чем масса покоя частиц в свободном состоянии, составляющих данное ядро. Разность этих масс называют дефектом массы. Поэтому при образовании ядра происходит выделение энергии   =  ₁ –  ₂ = (m ₁ – M) c ² =  m·c ². Из закона сохранения энергии можно заключить, что такая же энергия должна быть затрачена на расщепление ядра на протоны и нейтроны. Поэтому энергия связи  _св равна  _св =  m·c ². Если ядро с массой M образовано из Z протонов с массой m _p и из N = A – Z нейтронов с массой m _n, то дефект массы равен

 m = Z m _p + (A – Z) m _n – M. (1)

С учётом этого энергия связи находится по формуле

 _св = [ Z m _p + (A – Z) m _n – M ] c ². (2)

РАДИОАКТИВНОСТЬ

Процесс самопроизвольного распада атомных ядер называют радиоактивностью. Радиоактивный распад ядер сопровождается превращением одних нестабильных ядер в другие и испусканием различных частиц. Было установлено, что эти превращения ядер не зависят от внешних условий: освещения, давления, температуры и т.д. Существует два вида радиоактивности: естественная и искусственная. Естественная радиоактивность наблюдается у химических элементов находящихся в природе. Как правило, она имеет место у тяжёлых ядер, располагающихся в конце таблицы Менделеева, за свинцом. Однако имеются и лёгкие естественно-радиоактивные ядра: изотоп калия , изотоп углерода и другие. Искусственная радиоактивность наблюдается у ядер, полученных в лаборатории с помощью ядерных реакций. Однако принципиального различия между ними нет.

Известно, что естественная радиоактивность тяжёлых ядер сопровождается излучением, состоящим из трёх видов: ,  и лучи. -лучи — это поток ядер гелия , обладающих большой энергией. -лучи — поток электронов, -лучи — электромагнитные волны с очень малой длиной волны.

Радиоактивность широко используется в научных исследованиях и технике. Разработан метод контроля качества изделий или материалов — гамма-дефектоскопия. Она позволяет установить глубину залегания и правильность расположения арматуры в железобетоне, выявить раковины, пустоты или участки бетона неравномерной плотности, случаи неплотного контакта бетона с арматурой. По степени поглощения -лучей высокой энергии судят о влажности материалов. Построены радиоактивные приборы для измерения состава газа, причём источником излучения в них является очень небольшое количество изотопа, дающего -лучи. Радиоактивный сигнализатор позволяет определить наличие небольших примесей газов, образующихся при горении любых материалов. Он подаёт сигнал тревоги при возникновении пожара в помещении.

ЗАКОН РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА

Пусть радиоактивное вещество к данному моменту времени t содержит N ядер. Экспериментально установлено, что за малый промежуток времени dt убыль dN ядер пропорциональна числу этих ядер и этому промежутку времени, т.е. dN = –  N×dt, где ¾ постоянная распада, определяющая его скорость. Интегрируя это уравнение и учитывая, что при t = 0 число атомов равнялось N ₀, получаем:

(3)

Соотношение (3) представляет собой закон радиоактивного распада. Для количественной характеристики быстроты распада вводится физическая величина, называемая периодом полураспада, т.е. время Т, за которое начальное число атомов радиоактивного вещества уменьшается в два раза. Найдём связь периода полураспада и постоянной распада l. По истечении времени, равным периоду полураспада, т.е. при t = T,число будет равно N = N ₀ / 2. Подставляя эти выражения в (3), находим:  T = ln 2; » Для различных ядер период полураспада T меняется в широких пределах — от 10^-8 с до миллиардов лет.

ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Превращения атомных ядер, обусловленные их взаимодействиями друг с другом или с элементарными частицами, называются ядерными реакциями. Ядерные реакции осуществляются за счёт бомбардировки ядер атомов -частицами и протонами, обладающими большой кинетической энергией вследствие того, что они разгоняются в ускорителе. В качестве примера приведём первую ядерную реакцию, осуществленную Резерфордом при бомбардировке ядер азота (ядра-мишени) ядрами гелия (ядра-снаряды): . Все ядерные реакции подчиняются следующим общим законам:

1. Сохранение зарядового числа. Сумма зарядовых чисел частиц и ядер, вступающих в реакцию, равна сумме этих чисел продуктов реакции. Например, в приведённой выше ядерной реакции имеем следующее равенство: 2 + 7 = 1 + 8.

2. Сохранение массового числа. Сумма массовых чисел частиц и ядер до и после реакции равны друг другу. Например, для той же реакции 4 + 14 = 1 + 17.

3. Сохранение массы-энергии. Для изолированной системы полная масса-энергия неизменна.

Для протекания ядерной реакции ядра должны сблизиться на столь малое расстояние, чтобы между ними начали действовать ядерные силы.

ЯДЕРНАЯ ЦЕПНАЯ РЕАКЦИЯ

Установлено, что при бомбардировке ядер урана нейтронами происходит распад ядра на две примерно равные части. Отметим три важные особенности таких реакций:

1. Легко делятся ядра одного из изотопов урана .

2. В результате реакции деления высвобождается огромное количество энергии. Это связано с тем, что масса ядра урана больше суммарной массы осколков деления. Образующийся дефект массы и приводит к выделению энергии.

U

Рис. 1 Рис. 2

3. Важной особенностью рассматриваемой ядерной реакции является то, что при делении ядра урана выделяется 2 или 3 нейтрона. Физики поняли, что нейтроны, испускаемые в каждом акте деления, можно использовать для осуществления цепной реакции: один нейтрон делит одно ядро урана, два или три образовавшихся нейтрона вызовут дополнительные деления и таким образом процесс лавинообразно нарастает, как показано на рис. 2 для трёх нейтронов. На этом рисунке не показаны новые ядра, возникающие после распада ядер урана. Чтобы цепная реакция проходила, масса урана должна превышать некоторое значение, называемое критической массой, которая составляет несколько килограмм.

Ядерную реакцию, происходящую в атомной бомбе, называют неуправляемой. Управляемая реакция осуществляется в ядерных реакторах, используемых на атомных электростанциях (АЭС).

Атомные электростанции. Если в атомной бомбе происходит неуправляемая цепная реакция, то в созданных ядерных реакторах она носит управляемый характер. Суть управляемой реакции заключается в том, что создаются условия, когда на каждый процесс деления ядра урана-235 или плутония приходится в среднем только один нейтрон, вызывающий новый акт деления. Другие же образовавшиеся нейтроны вылетают из системы или поглощаются атомными ядрами других веществ (рис. 3). Таким образом, скорость выделения энергии будет поддерживаться одинаковой. Сердцем атомной электростанции является ядерный реактор 1 (рис. 4). В качестве горючего используются уран-235 и плутоний-239. Для управления потоком нейтронов в атомных реакторах применяются управляющие стержни 3, содержащие кадмий или бор, которые хорошо поглощают нейтроны. Эти стержни вводят в активную зону реактора 2 (топливо — замедлитель). Когда стержни полностью погружены в реактор, они поглощают столько нейтронов, что цепная реакция в реакторе не идёт. При выведении стержней увеличивается число нейтронов в реакторе и начинается реакция. В качестве замедлителя нейтронов используют графит или тяжелую воду. Для обеспечения безопасности работающего персонала от радиоактивных излучений реактор помещают в защитную оболочку 4. Необходимо отметить, что для получения самоподдерживающейся цепной реакции, как и в атомной бомбе, масса топлива должна быть не меньше критической. Критическая масса зависит от вида горючего и составляет несколько килограмм. Энергия, выделяемая реактором (1) в виде тепла, снимается теплоносителем (вода, жидкий натрий), циркулирующим в замкнутом контуре (5). Циркуляция обеспечивается насосом (6). В теплообменнике (7) теплоноситель отдаёт тепло воде, превращая её в пар, который вращает паровую турбину (8). Турбина соединена с электрогенератором (9), вырабатывающим электроэнергию. Из паровой турбины пар поступает в конденсатор 10. Происходит его конденсация в воду, которая поступает в теплообменник. Охлаждение пара в конденсаторе осуществляется водой из искусственно созданного водоёма (11).

1

5

9

8

11

6

Рис. 4

1 — ядерный реактор; 2 — горючее с замедлителем; 3 — управляющие стержни; 4 — защитная оболочка; 5 — замкнутый контур; 6 — насос; 7 — теплообменник; 8 — паровая турбина; 9 — электрогенератор; 10 — конденсатор; 11 — искусственный водоём

ТЕРМОЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ

Ядерные реакции, в которых из лёгких ядер образуются более тяжёлые ядра, называются реакциями термоядерного синтеза (термоядерными реакциями). При синтезе суммарная масса исходных ядер, превышает массу образовавшегося ядра, в результате этого выделяется энергия. Например, ядра дейтерия D () при слиянии образуют ядро гелия . Расчёты показывают, что два грамма дейтерия выделяют 10¹³ Дж энергии. Для того чтобы произошла термоядерная реакция надо положительно заряженные ядра сблизить настоль малые расстояния, чтобы между ними возникли ядерные силы. Для преодоления кулоновского отталкивания ядер вещество надо нагреть до температуры 10⁷ — 10⁸ К. В водородной бомбе высокая температура достигается за счёт взрыва атомной бомбы, при котором получается температура порядка 70 млн. градусов. Взрыв водородной бомбы представляет собой неуправляемую термоядерную реакцию. Реакция термоядерного синтеза не взрывного характера осуществлена природой на Солнце и звёздах, где достигается температура в миллионы градусов. Человечеству необходима управляемая термоядерная реакция, т.е. реакция, в ходе которой энергию можно было бы отбирать в нужном количестве в нужное время.

Для осуществления управляемой термоядерной реакции нужно создать высокотемпературную плазму, которую надо ещё удержать. Частицы, обладая колоссальной кинетической энергией, стремятся сразу же разлететься, а в природе нет такого материала, который бы выдерживал миллионы градусов. Для удержания плазмы физики предположили два пути решения этой задачи. Первый путь заключается в удержании плазмы с помощью магнитного поля. Если на газоразрядную трубку наложить магнитное поле, совпадающее по направлению с электрическим полем, то в такой трубке возникает плазменный шнур. Заряженные частицы плазмы под действием силы Лоренца будут описывать спиральные траектории вокруг магнитных силовых линий. Чем сильнее магнитное поле, тем меньше радиус плазменного шнура. Сила, которая действует на движущиеся заряженные частицы, со стороны магнитного поля и есть причина образования шнура, не соприкасающегося со стенами газоразрядной трубки; плазма как бы висит в вакууме. Второе направление — это создание управляемого термоядерного синтеза с помощью лазерного излучения. Самые мощные лазеры могут разогреть вещество с помощью короткого импульса до температуры 60 млн. град. Поэтому появилась возможность осуществить термоядерную реакцию в виде микровзрыва, даже без использования удерживающего плазму магнитного поля, так как реакция протекает быстро, и дейтерий с тритием не успевают разлететься. В этом случае технически реакция осуществляется воздействием мощного лазерного импульса на твёрдую замороженную таблетку из дейтерия и трития.

Дата добавления: 2013-12-12