Канонические уравнения прямой

Параметрические уравнения прямой

Прямая

Пусть даны точка на прямой l и направляющий вектор прямой . Направляющий вектор – это вектор, параллельный прямой. М – произвольная точка прямой l (рис. 2.1). Так как прямая параллельна вектору , то вектор тоже параллелен вектору . Следовательно, при любом положении точки М имеет место следующие равенство:

, (2.1)

(2.1) – уравнение прямой в векторной форме.

Переходя к соотношениям между координатами векторов, получим параметрические уравнения прямой:

. (2.2)

Легко видеть, что всякая точка М с координатами, определяемыми из уравнений (2.2), лежит на прямой, проходящей через точку и коллинеарной вектору .

Исключая из уравнений (2.2) параметр t, получим канонические уравнения прямой:

. (2.3)

В этих уравнениях – некоторая фиксированная точка прямой и - направляющий вектор прямой. Координаты этого вектора называются так же угловыми коэффициентами прямой. Если направляющий вектор единичный, то , , где α, β, γ – углы, образованные вектором с осями Ох, Оу, Оz.

Замечание. В уравнениях (2.3) числа m, n, p могут принимать любые значения, кроме одновременного равенства нулю.

Например,– уравнение прямой, перпендикулярной оси Оz. Направляющий вектор прямой перпендикулярен оси Оz, следовательно, и параллельная вектору прямая перпендикулярна этой же оси Оz. А – уравнение прямой, перпендикулярной плоскости Охz.

Дата добавления: 2013-12-12