Обобщенные критерии

При принятии управленческих решений проблемы сравнительной оценки многомерных альтернативных вариантов играют особую роль.

Пример 23.1. Пусть рассматриваются инвестиционные проекты в области машиностроения.

В качестве обобщенного критерия, характеризующего сравнительную предпочтительность инвестиционных проектов, представленных на инвестиционный конкурс, определена сравнительная эффективность проекта.

В качестве частных критериев первого иерархического уровня выбраны конкурентоспособность, ресурсосбережения, экологическая безопасность и социальная значимость.

В этом случае:

К1 - конкурентоспособность,

К2 - ресурсосбережения,

К3 - экологическая безопасность,

К4 - социальная значимость.

Пусть инвестиционный проект А характеризуется вектором оценок

Ха = (4,3,2,4),

а инвестиционный проект В характеризуется вектором оце­нок

Х_b = (3,2,2, 1).

Инвестиционный проект А более предпочтителен, чем инвестиционный проект В, поскольку вектор оценок Х_а по всем компонентам (частным критериям) предпочтительней, чем вектор оценок X_b.

Приведем общие правила, согласно которым может быть осуществлено сравнение объектов экспертизы характеризующихся соответствующими векторами оценок.

Альтернативный вариант (объект) а_j, недоминируем, если не существует альтернативного варианта а_j, превосходящего (неуступающего) а_j по всем компонентам (частным критериям).

Естественно, что наиболее предпочтительный сравниваемых альтернативных вариантов а₁,.... а_n относится к числу недоминируемых.

Недоминируемые альтернативные варианты, как уже говорилось выше, образуют множество Парето.,

При выборе наиболее предпочтительных альтернативных вариантов, как правило, недостаточно ограничиться лишь указанием множества Парето, которому может принадлежать слишком много объектов.

Например, частные критерии К₁,.... К_S могут принимать лишь два значения: 1, если альтернативный вариант обладает соответствующим свойством, и 0 - в противном случае.

Тогда число альтернативных вариантов, половина оценок которых по частным критериям равна 1, может уже при s стать больше 100 000.

Очевидно, что ни один из этого множества альтернативных вариантов недоминируем другими, ему принадлежащими и все они могут одновременно принадлежать множеству Парето.

В этом случае число альтернативных вариантов, признанных наилучшими, слишком велико.

Поэтому часто используются другие более тонкие методы сравнительной оценки альтернативных вариантов. Рассмотрим некоторые из них.

Пусть частные критерии k₁,..., Ks по которым оцениваются объекты принятия управленческих решений таковы, что К₁ существенно важнее всех остальных частных критериев, исключением К₁, и т.д.

В этом случае, если альтернативный вариант а_i предпочтительней альтернативного варианта а_j. По частному критерию К_i, то независимо от оценок а_i а_jпо остальным частным критериям а_j более предпочтительна, чем a_j.

Если же оценки альтернативных вариантов совпадают по первым г частным критериям и различаются по (г+1)-му частному критерию, то более предпочтительной в этом случае является альтернативный вариант более предпочтитель­ная (г+1)-му частному критерию.

Такое упорядочение альтернативных вариантов – объектов принятия управленческих решений по предпочтениям называется лексикографическим.

Легко заметить, что при лексикографическом упорядочении все альтернативные варианты оказываются строго проранжированными. Одинаково предпочтительными могут оказаться лишь альтернативные варианты с совпадающими векторами оценок.

В случае лексикографического упорядочения задача выбора заданного числа наиболее предпочтительных для эксперта или ЛПР альтернативных вариантов оказывается легко решаемой. Для этого достаточно выбрать число первых альтернативных вариантов - объектов принятии управленческого решения в их лексикографическом упоря­дочении.

Однако далеко не всегда частные критерии оценки аль­тернатив Ki,.... Ks настолько неравноценны, настолько несоизмеримы по важности, что одни из них настолько более важны, чем другие.

Более типична ситуация, когда относительная важность критериев, по которым осуществляется сравнительная оцен­ка объектов принятия управленческого решения, является сопоставимой.

В этом случае прибегают, если возможно, к различным методам свертки - построению обобщенного критерия, по­зволяющего дать единую численную оценку каждому из сравниваемых альтернативных вариантов.

Различные подходы к формированию обобщенного критерия будут обсуждены ниже.

Одним из наиболее важных предположений о характере частных критериев при установлении факта их сопоставимости является предположение об их независимости.

Для случая s=2 (двух критериев) свойство независи­мости критериев может быть сформулировано следующим образом:

где x_i1 и х _ij - значения оценок альтернативны» вариан­тов а_i и а_j по частному критерию K₁, а х_i2 и х_j2 - значения оценок альтернативных вариантов а_j; и а_i по К₂.

Соотношение (6.1) показывает, что предпочтения аль­тернатив сохраняются при любых одинаковых значениях оценок по частному критерию К₂ и определяются оценками по K₁, а соотношение (6.2) показывает, что предпочтения альтернативных вариантов сохраняются при любых одинако­вых значениях по частному критерию К₁ и определяются оценками по К₂.

Однако сформулированные условия независимости критериев оказываются необходимыми, но недостаточными для существования обобщенных критериев.

Сегодня известны необходимые и достаточные условия существования функций полезности u₁ (x),...,u_s(x) таких, что альтернативный вариант а_i предпочтительней альтернативного варианта а_j, тогда и только тогда, когда

когда альтернативные варианты а_i и a_j равноценны тогда и только тогда, когда

Исследованию функций ценности (полезности) посвящена обширная литература.

Поэтому не будем останавливаться на этом подробней. Нас, прежде всего, интересуют конкретные методы формирования обобщенных критериев, используемые при анализе и обработке экспертной информации.

Линейные обобщенные критерии строятся в предложениях аддитивности частных критериев и сопоставимости их относительной важности. Случай, когда одни из частных критериев существенно важнее других, приводит к лексикографическому упорядочению критериев, рассмотренному выше.

Заметим, что сравнивать по предпочтительности целе­сообразно лишь однородные критерии, измеряющие интен­сивность свойств одной и той же природы.

В случае, когда критерии таковыми не являются, необходимо их преобразовать в однородные.

Для этого, если измерения по частным критериям про­изведены в шкалах отношений, оценки по ним преобразовы­ваются по формулам:

где X, - максимально возможная оценка по v-му кри­терию.

Если измерения по частным критериям произведены в шкалах интервалов, оценки преобразовываются по формулам:

- минимальная оценка по v-му критерию (3).

Непротиворечивость частных критериев позволяет по­лучать непротиворечивую информацию о сравнительной предпочтительности альтернативных вариантов при эксперт­ном оценивании.

Измерение частных критериев в шкале порядка не по­зволяет корректно вводить операции сложения оценок по различным частным критериям, например, по Кр и Kq, взя­тым соответственно с коэффициентами Ср и Cq.

Один из широко используемых методов сравнительной оценки многокритериальных объектов принятия управленче­ских решений в практике управления - метол обобщенных линейных критериев.

В этом методе предполагается определение весовых коэффициентов Ci,...,Cs, частных критериев k₁,.... Ks, со­держащих большую информацию о сравнительной важности критериев, чем их измерение в шкале порядка (3,4).

Измеримость оценок важности частных критериев в шкале отношений делает корректной процедуру сравнитель­ной оценки многокритериально оцениваемых альтерна­тивных вариантов с помощью обобщенного линейного кри­терия:

Этот обобщенный линейный критерий позволяет установить отношение линейного порядка (предпочтительности) на множестве оцениваемых с помощью нескольких крите­риев альтернативных вариантов, что и является одним из способов решения задачи выбора наиболее предпочтительного альтернативного варианта наиболее эффективного управленческого решения.

Наиболее предпочтительным признается альтернатив­ный вариант а_j, для которого справедливо следующее соот­ношение:

Если необходимо выбрать k наиболее предпочтительных альтернативных вариантов, то ими будут k альтернативных вариантов, получивших наибольшие оценки по критерию.

При назначении весовых коэффициентов С_v, характе­ризующих относительную важность частных критериев К₁...,Ks, необходимо производить сравнение значений крите­риев, соответствующих их одинаковым уровням.

В качестве таких уровней можно выбрать уровень максимальных или минимальных значений частных критериев, как, например, это делается при сведении частных критериев к однородным.

Для определенности будем сравнивать максимальные уровни и в дальнейшем, говоря о сравнительном влиянии частных критериев на общую оценку альтернативных вариантов, прежде всего будем иметь в виду максимальные уровни, предполагая, что сравнительные влияния частных критериев на других, но обязательно одинаковых уровнях аналогичны.

Пусть улучшение значения оценки альтернативного варианта по критерию Ks на Δ единиц эквивалентно ухудшению значения оценки альтернативного варианта по критерию К_р на λΔ единиц и не зависит от конкретных значений оценок альтернативных вариантов по критериям k₁,...,K_m и, в частности, от конкретных значений оценок по критериям Кр и К_q

Коэффициент λ называют глобальным коэффициентом замещения.

Обобщенный линейный критерий (6.6) существует тогда и только тогда, когда значения частных критериев максимального уровня измеримы в шкале отношений (т.е. в шкале аналогичной той, в которой измеряются вес, длина и т.д.).

Отсюда следует (4), что для получения коэффициентов важности частных критериев K₁,...,Ks при практическом ис­пользовании оценочных систем можно воспользоваться любым методом, позволяющим получать измерения и альтернативных вариантов в шкале отношений.

Внутри каждого частного критерия может допускаться равномерная зависимость значений частных критериев от оценок экспертов. Если характер оценок таков, что они не линейно влияют на значения частного критерия, то для получения результирующей оценки необходимо в обобщенном критерии представить указанную зависимость.

С учетом неравномерных и, вообще говоря, нелинейных зависимостей значений частных критериев, по которым осуществляется оценка объектов принятия управленческих решений, от оценок экспертов К_v (а_i) обобщенный аддитивный критерий запишется в виде

где К_v (а_i)- могут быть и нелинейными функциями.

Если обобщенный критерий построить не удается, не обходимо пользоваться другими методами сравнительной оценки многомерных альтернативных вариантов.

Дата добавления: 2013-12-12