Функции, отношения и множества

А e В

Множества и операции над ними.

1. Основные понятия теории множеств.

Определение. Множеством М называется объединение в единое целое определенных различимых однотипных объектов а, которые называются элементами множества.

а e М

Множество можно описать, указав какое-то свойство, присущее всем элементам этого множества.

Замечание. Вообще говоря, понятие множества считается первичным (исходным) понятием, и, как таковое, не определяется. Приведённое выше определение следует, скорее, считать уточнением понятия множества.

Множество, все элементы которого являются числами, называется числовым. В дальнейшем мы будем, прежде всего, рассматривать именно такие множества. Множество, элементами которого являются другие множества, называется классом или семейством.

Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным. При подсчёте количества элементов учитываются только различные (неповторяющиеся) элементы.Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается символом Æ.Множество может быть задано перечислением (списком) своих элементов, порождающей процедурой или описанием характеристических свойств (предикатом), которым должны обладать его элементы. Причём в последнем случае необходимо формулировать описание характеристических свойств элементов множества достаточно корректно, для того, чтобы множество было определено вполне однозначно. Добавим, что многие числовые множества могут быть заданы всеми тремя указанными способами (например, множество чётных однозначных чисел).

Мощностью конечного множества М называется количество его элементов. Обозначается n. Если, в каждом из множеств А и В содержится равное количество элементов, то множества А и В называются равномощными.

Определение. Если все элементы множества А являются также элементами множества В, то говорят, что множество А включается (содержится) в множестве В.

А

В

Определение. Если А e В, то множество А называется подмножеством множества В (также говорят, что В покрывает А).

Замечание. Не следует считать равносильными отношения принадлежности и вхождения одного множества в другое. Можно привести следующий пример. Пусть А — множество всех студентов данной группы, а В — множество всех учебных групп данного института. Здесь, но, поскольку элементы этих множеств разнородны. Этот пример показывает также, что элементами множеств могут являться другие множества.

Парадокс Рассела. Задание множеств характеристическим предикатом может привести к противоречиям. Рассмотрим множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента:. Если такое множество существует, то можно ответить на следующий вопрос: принадлежит ли оно само себе. С одной стороны, если, то. С другой стороны, если, то! Это противоречие можно разрешить различными способами, в целом сводящимся к тому, что не является множеством.

Для трех множеств А, В, С справедливы следующие соотношения:

Связь между включением и равенством множеств устанавливается следующим соотношением:

Здесь знак V либо & обозначает конъюнкцию (логическое “и”).

В заключение добавим, что Г. Кантор предложил использовать понятие “универсального множества” (универсум), как бы противоположного понятию пустого множества. По мысли Кантора, универсальное множество содержит все мыслимые множества, и при этом оно само содержится во множестве своих подмножеств в качестве элемента.

Введем обозначения.

R – множество действительных чисел.

X e R – элемент X принадлежит множеству R.

Равные множества – множества, состоящие из одинаковых элементов.

A = B – множество А равно множеству B.

0 – пустое множество.

A<= C – Множество А является подмножеством множества С.

Если А не равно С и А <= C, то А < С. (строго).

Если A <= C и C <= А, то А = С.

Пустое множество 0 является подмножеством любого множества.

Существуют конечные и бесконечные множества. Пусть n – число элементов данного множества А. Это число называется мощностью данного множества.

У множества рациональных чисел мощность является счетной (т.е. все элементы можно пронумеровать).

У множества иррациональных чисел мощность – континиум. Обозначается (С).

Основное правило комбинаторики (показано на примере)

Пусть имеется палочка, разделенная на 3 части. Первую ее часть можно раскрасить n способами, вторую – m, третью – k. Всего способов раскраски палочки – n*m*k.

Аналогично с множествами U = {a1,a2… an-1, an}

Пусть U = {a1, a2, a3} Выпишем множество всех подмножеств множества U.

P(U) = {0, a1, a2, a3, a1a2, a1a3, a2a3, a1a2a3}. Мощность множества U равна 3, а мощность P(U) равна 8.

Методом математической индукции доказывается, что при произвольной мощности n множества U, мощность множества P(U) равна 2n.

Дата добавления: 2013-12-12