Интерполяция общего вида

Типовые виды глобальной интерполяции

Квадратичная (параболическая) интерполяция

В данном случае в качестве интерполяционного многочлена используется квадратный трехчлен на отрезке [ x_{i– 1}, x_{i+ 1}] Î [ а, b ] в виде:

(6)

.

Для определения коэффициентов a_i, b_i, c_i составляется система из трех уравнений согласно условиям (3), а именно:

(7)

Алгоритм вычисления аналогичен предыдущему, только вместо соотношений (5) используется соотношение (6) с учетом решения (7). Очевидно, что для x_T Î [ x ₀, x_n ] используются три ближайшие точки.

Графическая иллюстрация метода

Теоретическая погрешность вне узлов интерполяции

R (x) = (x – x ₀) × (x – x ₁) × (x – x ₂)

В данном случае интерполяционный многочлен ищется в виде (2) для всего интервала области определения x_T, т.е. для [ x ₀, x_n ] в виде:

. (8)

Для получения коэффициентов a_i составляется система уравнений (3)

(9)

Известно, что если x_i ¹ x_j при i ¹ j система имеет единственное решение. Для решения (9) можно использовать методы, рассмотренные ранее для СЛАУ. Прямое решение системы (9) и получение F (х) в виде (8) выгодно, когда производится много вычислений по одной и той же таблице. Для разового вычисления y = f (x_T) предложены другие алгоритмы, при которых не нужно находить параметры вектора ā, а интерполяционные многочлены записываются через значения таблиц { x_i, y_i }, . Это интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона.

Дата добавления: 2013-12-11