Сложные проценты и инфляция

Пусть на капитал PV в течение n лет начисляются сложные проценты и индекс цен за это время равен

FV=PV*cⁿ, = PV*cⁿ.

где m - количество начислений в год.

Но с учетом инфляции:

(*)

Отсюда ясно, что для того, чтобы не происходило эрозии капитала должно выполняться неравенство сⁿ≥I⁽ⁿ⁾, что равносильно неравенству

причем если, то наращение капитала лишь нейтрализует действие инфляции.

Ставка, для которой соответствующий коэффициент с превышает с^*, называется положительной ставкой.

Например, если, то положительная процентная ставка определяется из неравенства, откуда следует

Если в течение n лет ожидаемый ежегодный индекс инфляции равен I, то I=1+h, I⁽ⁿ⁾=(I)ⁿ=(1+h)ⁿ, где h – ожидаемый ежегодный темп инфляции.

Тогда.

Если сложные проценты начисляются один раз в год, то должно быть r^(m)=r>h, т.е. процентная ставка должна превышать темп инфляции.

Полагая, что, находим, что положительная учетная ставка удовлетворяет неравенству,,, а при m=1 и I⁽ⁿ⁾=(1+h)ⁿ получим

Для обеспечения реального роста стоимости первоначального капитала необходимо исходную ставку увеличивать (индексировать). Выбор величины такой индексированной ставки, называемой брутто-ставкой, определяется поставленными целями.

Для обеспечения реальной доходности согласно коэффициенту наращения с необходимо так индексировать исходную ставку (увеличивать на инфляционную премию), чтобы новый коэффициент наращения с^/ полностью компенсировал потери из-за инфляции. Т.о., с^/ определяется из равенства:

, Þ

Размер брутто – ставки (r^/) обеспечивает полную компенсацию негативного воздействия инфляции и получение доходности. Следовательно в формуле (*) множитель сⁿ нужно приравнять к множителю, тогда если

,

– брутто ставка наращения

Задавая брутто- ставки в формуле (**) можно определить реальную ставку наращения r^(m) (выразим из (**) r^(m))

- реальная ставка наращения

Выводим формулы для определения реальной брутто – ставки d^/(m) и реальной учетной ставки d^(m)

Если, то с учетом (*)

- учетная брутто ставка

Из формулы (***) можно выразить реальную учетную ставку d^(m)

- реальная учетная ставка

Формула Фишера И.

При I⁽ⁿ⁾=(1+h)ⁿ и m=1 из (**) r^(1)/=r^/ получаем (обозначая r⁽¹⁾=r)

r^/=r+h+rh

где h+rh - инфляционная премия, которую нужно прибавить к исходной ставке доходности для компенсации инфляционных потерь

вывод формулы:

Тема 11. Финансово – экономические расчеты при предоставлении кредитов

Дата добавления: 2013-12-12