Структурные средние

Средняя квадратическая взвешенная

Простая средняя квадратическая

Средняя геометрическая, средняя квадратическая, средняя хронологическая.

Средняя геометрическая также может быть простой и взвешенной. Применяется главным образом при нахождении средних коэффициентов (темпов) роста.

Средняя геометрическая простая находится по формуле

,

где - обозначает произведение вариант;

а средняя геометрическая взвешенная определяется по формуле

.

Сфера применения этой средней будет рассмотрена в теме «Ряды динамики».

Средняя квадратическая применяется в тех случаях, когда приходится осереднять величины, входящие в исходную информацию в виде квадратических функций.

,

.

Наиболее широко этот вид средней используется при расчете показателей вариации.

Средняя хронологическая используется для определения среднего значения уровня ряда динамики за определенный период. Этот вид средней и формулы для ее расчета будут рассмотрены в теме «Ряды динамики».

Характеристиками вариационных рядов, наряду со средними, являются мода, медиана, а также квартили и децили.

Мода - это величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности. Для дискретных рядов распределения модой будет значение варианта с наибольшей частотой.

Рассмотрим пример.

Распределение проданной обуви по размерам характеризуется следующими показателями:

размер обуви											и выше
число пар, в % к итогу	—										—

В этом ряду распределения мода равна 41. Именно этот размер обуви пользовался наибольшим спросом покупателей.

Для интервальных рядов распределения с равными интервалами мода определяется по формуле:

где - начальное значение интервала, содержащего моду;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

Рассмотрим пример.

Распределение предприятий по численности промышленно - производственного персонала характеризуется следующими данными:

Таблица 28.

Группы предприятий по числу работающих, чел	Число предприятий
100 — 200
200 — 300
300 — 400
400 — 500
500 — 600
600 — 700
700 — 800
ИТОГО

В этой задаче наибольшее число предприятий (30) имеет численность работающих от 400 до 500 человек. Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распределения.

Введем следующие обозначения:

=400, =100, =30, =7, =19

Подставим эти значения в формулу моды и произведем вычисления:

чел.

Медиана - это варианта, расположенная в середине вариационного ряда. Если ряд распределения дискретный и имеет нечетное число членов, то медианой будет варианта, находящаяся в середине упорядоченного ряда (упорядоченный ряд - это расположение единиц совокупности в возрастающем или убывающем порядке).

Например, стаж пяти рабочих составил 2, 4, 7, 8, 10 лет. В таком упорядоченном ряду медиана - 7 лет. По обе стороны от нее находится одинаковое число рабочих.

Если упорядоченный ряд состоит из четного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух вариант, расположенных в середине ряда. Пусть теперь будет не пять человек в бригаде, а шесть, имеющих стаж работы 2, 4, 6, 7, 8 и 10 лет. В этом ряду имеются две варианты, стоящие в центре ряда. Это варианты 6 и 7. Средняя арифметическая из этих значений и будет медианой ряда:

Ме = (6 + 7) / 2 = 6,5 лет.

Рассмотрим пример расчета медианы в дискретном ряду.

Определим медиану заработной платы рабочих по данным следующей таблицы.

Таблица 29.

Месячная з/п, руб.	Число рабочих	Сумма накопленных частот
		8 (2+6)
		24 (8+16)
		—
		—

Для определения медианы надо подсчитать сумму накопленных частот ряда. Наращивание итога продолжается до получения накопленной суммы частот, превышающей половину. В нашем примере сумма частот составила ее половина - 20.

Накопленная сумма частот ряда получилась равной Варианта, соответствующая этой сумме, т.е. 160 руб., и есть медиана ряда.

Если же сумма накопленных частот против одной из вариант равна точно половине сумме частот, то медиана определяется как средняя арифметическая этой варианты и последующей.

Рассмотрим пример.

Таблица 30.

Месячная з/п, руб.	Число рабочих	Сумма накопленных частот
		8 (2+6)
		20 (8+12)
		—
		—

Медиана будет равна:

Ме = (160 + 190) / 2 = 160 руб.

Рассмотрим расчет медианы в интервальном вариационном ряду.

Медиана интервального вариационного ряда распределения определяется по формуле

где — начальное значение интервала, содержащего медиану;

— величина медианного интервала;

— сумма частот ряда;

— сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

— частота медианного интервала.

Рассмотрим пример.

Таблица 31.

Группы предприятий по числу рабочих	Число предприятий	Сумма накопительных частот
100 — 200
200 — 300		4 (1+3)
300 — 400		11 (4+7)
400 — 500		41 (11+30)
500 — 600		—
600 — 700		—
700 — 800		—
ИТОГО

Определим прежде всего медианный интервал. В данной задаче сумма накопленных частот, превышающая половину всех значений (41), соответствует интервалу 400 - 500. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана. Определим ее значение по приведенной выше формуле.

Известно, что:

Следовательно,

.

Дата добавления: 2013-12-11