Безусловный экстремум

Математическая модель задачи.

Определить такие переменные х и у, удовлетворяющие условиям

с₁х₁+с₂у=в, х≥0, у≥0,

при которых функция z=f(х, у) достигнет максимума.

Ограничения могут отсутствовать. В этом случае производится безусловная оптимизация задачи. Как правило, функция z может иметь произвольный нелинейный вид. В теории нелинейной оптимизации выделяют понятие локального экстремума (локального минимума, локального максимума), глобального экстремума, условного экстремума.

Понятие условного экстремума вводится для случая, когда число переменных n не меньше 2 (n≥2).

Разница между глобальным и локальным экстремумами предоставлена на рисунке:

Точки А и В являются точками локального экстремума, а точка С является точкой глобального экстремума.

Задачи нелинейного программирования делятся на два класса: имеющие безусловный экстремум и имеющие условный экстремум в зависимости от того есть ли дополнительные условия или нет.

Рассмотрим задачу безусловного экстремума.

Найти экстремум функции z=х²+ху+у²-2х-3у.

Найдем частные производные.

Первая производная по х: z ׳ _х=2х+у-2

Первая производная по у: z ׳ _у=х+2у-3

Решим систему уравнений. 2х+у=2

х+2у=3

Получаем критическую точку (1/3; 4/3).

Найдем вторые частные производные.

Вторая производная по х: z ׳׳ _хх=2

Вторая производная по у: z ׳׳ _уу=2

Смешанные производные z ׳׳ _ху=z ׳׳ _ух=1

Составим определитель 2 1

Δ= 1 2 = 4-1=3

Следовательно, экстремум есть. Так как Δ=3>0 и z ׳׳ _хх =2>0, то в точке (1/3; 4/3) точка минимума.

Примечание:

Достаточные условия «экстремума функции двух переменных:

а) если Δ>0 и z׳׳_хх< 0 (z׳׳_уу > 0), то в точке (х, у) функция z имеет максимум;

если Δ>0 и z׳׳_хх> 0 (z׳׳_уу < 0), то в точке (х, у) функция z имеет минимум;

б) если Δ<0, то экстремума нет;

в) если Δ=0, то вопрос об экстремуме остается открытым.

Дата добавления: 2013-12-11