Представление некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

Формула Маклорена.

Формула Тейлора.

Теорема Тейлора.

1. Пусть функция f(x) имеет в точке х=а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.
2. Пусть х- любое значение из этой окрестности, но х ¹ а.

Тогда между точками х и а найдется такая точка e, что справедлива формула:

это выражение называется формулой Тейлора, а выражение:

называется остаточным членом в форме Лагранжа.

Формулой Маклорена называется формула Тейлора при а = 0:

Функция f(x) = .

Находим: f(x) =, f(0) = 1

f¢(x) =, f¢(0) = 1

……………………

f(n)(x) =, f(n)(0) = 1

Пример: Найдем значение числа е.

В полученной выше формуле положим х = 1.

Для 8 членов разложения: e = 2,71827876984127003

Для 10 членов разложения: e = 2,71828180114638451

Для 100 членов разложения: e = 2,71828182845904553

Функция f(x) = sinx.

Функция f(x) = cosx.

Функция f(x) = , (a - действительное число)

Если в полученной формуле принять a = n, где n- натуральное число и f(n+1)(x)=0, то Rn+1 = 0, тогда

Получилась формула, известная как бином Ньютона.

Функция f(x) = ln(1 + x).

Дата добавления: 2013-12-11