Стационарное состояние

Базовый вариант модели Солоу (без технологического прогресса).

Рассмотрим однопродуктовую экономику. Пусть в этой экономике действует репрезентативный потребитель, который одновременно является производителем и владельцем факторов производства (экономика Робинзона Крузо). В экономике есть всего два фактора производства: труд и капитал, а выпуск в каждый момент времени t определяется производственной функцией: где F -производственная функция с постоянной отдачей от масштаба. Будем считать, что функция F возрастает по все аргументам, вогнута и удовлетворяет следующим техническим условиям: и

Будем рассматривать закрытую экономику без государственного сектора. Произведенная в момент t продукция может быть использована либо на потребление (C_t), либо на инвестиции (I_t):

(7)

Полученный доход потребитель распределяет между потреблением (C_t) и сбережениями (S _t), причем будем считать, что сбережения являются некой фиксированной долей дохода:

(8) S_t=sY_t, где 0£ s £1.

Через s обозначена норма сбережения, не зависящая от дохода и момента времени t, то есть, мы будем считать s экзогенным параметром. Итак, , откуда с учетом (7) и (8) получаем:

(9)

Будем считать, что капитал изнашивается с течением времени, и обозначим через d (0£d£1) норму амортизации капитала, полагая ее постоянной. Таким образом, валовые инвестиции равны сумме чистого прироста капитала и амортизационных расходов: , где -чистый прирост капитала. (Точкой сверху обозначена производная по времени). Подставляя выражение для инвестиций в (9), получаем:

(10)

Будем считать, что население в рассматриваемой экономике равно трудовым ресурсам и растет с постоянным темпом n: . Будем также считать, что в экономике имеет место полная занятость, то есть труд, стоящий в производственной функции, равен занятости.

Поделим обе части уравнения (10) на L_t и с учетом однородности первой степени функции F получим:

(11) .

Перейдем от абсолютных величин к величинам на одного рабочего, обозначив через k капитал на одного рабочего или капиталовооруженность (kºK/L), а через f(k) – выпуск на одного рабочего или производительность труда (f(k) ºF(K/L,1)). Тогда , откуда находим и подставляем в (11):

(12)

Дифференциальное уравнение (12) называют уравнением накопления капитала. Поясним, что показывает это уравнение. В левой части стоит чистый прирост капиталовооруженности. Если сбережения на душу населения превышают инвестиции, необходимые для поддержания неизменной величины капиталовооруженности, то эти избыточные средства позволят увеличить запас капитала на душу населения.

Определим стационарное состояние в рассматриваемой модели, как ситуацию, в которой капитал на одного рабочего является неизменным: . Стационарная величина капиталовооруженности k* определяется из условия:

(13) .

Поскольку капиталовооруженность в стационарном состоянии неизменна, то производительность труда и потребление на одного работника также постоянны и равны: y*=f(k*), c*=(1-s)f(k*), соответственно. Это значит, что запас капитала, выпуск и потребление в стационарном состоянии растут с тем же темпом, с которым растет население.

Стационарное состояние в модели Солоу можно изобразить графически. По нашим предположениям производственная функция f(k) вогнута и выходит из нуля. Кроме того, наклон f(k) в нуле равен бесконечности, а при больших k кривая f(k) становится пологой. Инвестиции, необходимые для поддержания постоянной капиталовооруженности, (n+ d )k изображены прямой линией, выходящей из нуля под углом, равным (n+ d ). Если первоначально экономика имеет капиталовооруженность k₀, то валовые инвестиции на одного работника (i) для этой экономики будут равны сбережениям в точке k₀. Чистые инвестиции на одного работника соответствуют расстоянию между кривой сбережений s f(k) и линией необходимых инвестиций (n+ d )k. Потребление на душу население с соответствует вертикальному отрезку между производственной функцией и функцией сбережений.

Точка пересечения кривой сбережений и кривой необходимых инвестиций определяет стационарный уровень капиталовооруженности k*. Заметим, что стационарное состояние при положительной капиталовооруженности существует, поскольку функция f(k) вогнута, выходит из нуля и удовлетворяет следующим условиям: и .

Рисунок 1. Стационарное состояние в модели Солоу.

Дата добавления: 2013-12-11