Формула Байеса

Вывод и этой формулы основывается на теоремах сложения и умножения.

Содержательная постановка задачи ИЛИ «вероятностная ситуация».

Событие A произошло после наступления одного из событий Н₁, Н₂, …, H_{n ,} образующих полную группу событий. Известны вероятности P( H_i ) наступления каждого из событий Н_{i ,} а также условная вероятность P( A/H_i ). наступления события A, после того как Н_i произошло_. Необходимо найти вероятность, того что событие A свершилось после наступления какого-то определенного события Н_{k .}

Математическая постановка задачи.

Дано: Н₁, Н₂, …, H_n такие, что Н_i Н_j = Æ при любых i и j, i¹j; ;

P(H_i) и P(A/H_i).

Найти P(H_k /A).

Доказательство.

Не умаляя общности, положим k=2. То есть определим вероятность того, что событие A произошло после наступления события Н_{2 .}

Рассмотрим событие. События Н₂ и A зависимы, тогда по теореме умножения P = P (H₂) P (A / H₂). С другой стороны,

P = P (A) P (H₂ / A).

P (H₂) P (A / H₂) = P (A) P (H₂ / A).

Находим P(H ₂/ A)

, где

P(A) вычисляется по формуле полной вероятности

P (A).

Теперь получаем формулуБайеса:

.

По формуле Байеса вычисляется вероятность любой из гипотез H_k при условии, что событие А произошло. В общем случае формула Байеса имеет вид

.

Задача 2. В дополнение к условиям Задачи 1 известно, что случайно выбранная книга имеет дефект. Найти вероятность того, что книга московского издательства.

………………………………………………………………………………………….

Ответ:

Дата добавления: 2013-12-13