Математическое ожидание

Числовые характеристики дискретного случайного процесса.

Математическое ожидание М x, дисперсия D x, среднеквадратическое отклонение σξ и коэффициент корреляции ρ_xh.

Определение. Математическое ожидание М x случайной величины x определяется формулой

и фактически есть «её среднее значение». Это легко видеть из Таблиц 1 и 2.

Важно отметить, что М x — математический оператор.

Задача 3. Найти математическое ожидание случайной величины, заданной законом распределения

x	-1
pi	1/3	2/3

M x = -1·1/3 +×1·2/3 = 1/3.

Свойства математического ожидания.

1. Если случайная величина x постоянна, т. е. x º С, то её математическое ожидание равно С: М(С) = С.

2. Если М x = а, и k – константа, то М (k x) = kа, т.е.математическое ожидание случайной величины, умноженной на число, равно математическому ожиданию случайной величины, умноженному на это число.

3. Если М x= а, и k и b – константы, то М (k x +b) = kа+b, т.е. математическое ожидание суммы случайной величины и числа равно сумме этого числа и математического ожидания случайной величины.

4. Для любых двух случайных величин x и h, определённых на одном и том же пространстве элементарных исходов, справедлива формула: М (x + h) = М (x)+ М (h).

5. Если случайные величины x и h независимы, то М( x·h ) = М x ×М h.

Покажем это на примере.

Задача 4.

Заданы законы распределения двух независимых случайных величин x и h

x					h	-2
pi	1/2	1/2			pi	1/3	2/3

М( x ) = 1·1/2+0·1/2 = 1/2,

М( h ) = (-2)·1/3+3·2/3 = 4/3. Тогда М( x ) · М( h ) = 2/3.

Построим закон распределения для случайной величины y = x·h

y	-2
pi	1/6	1/6	2/6	2/6

Упорядочим значения случайной величины по возрастанию

y	-2
pi	1/6	3/6	2/6

М( y ) = М( x·h ) = (-2)·1/6+0·3/6+3·2/6 = 2/3.

Среднее значение случайной величины даёт ориентировочное представление о случайной величине, и во многих случаях этого достаточно.

Однако, одного математического ожидания недостаточно. Почему? Вот пример.

x	-0,01	0,01				h	-100
pi	1/2	1/2				pi	1/2	1/2

М( x ) = -0,01·1/2+0,01·1/2 = 0

М( h ) = (-100)·1/2+100·1/2 = 0.

Поэтому вводят ещё одну величину, характеризующую колеблемость, как средний квадрат отклонения значения случайной величины от её среднего значения.

Дата добавления: 2013-12-13