Перпендикулярность прямой и плоскости

Параллельность прямой и плоскости

При решении вопроса параллельности прямой линии и плоскости необходимо опираться на известное положение стереометрии: прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскости.

Оценим взаимное положение прямой АВ и плоскости, представленных на рис. 3.14.

Рис. 3.14

Для этого проведем через прямую АВ вспомогательную плоскость Q (Q^П₁).

В данном случае через прямую проведена горизонтально-проецирующая плоскость, горизонтальный след которой сливается с одноименной проекцией прямой А₁В₁. Далее построены проекции линии пересечения плоскостей 1-2 сравнение которых с проекциями прямой показывает, что прямая АВ не параллельна плоскости треугольника ВСD.

На рис. 3.15 показано построение прямой параллельной заданной плоскости треугольника АВС и проходящей через точку К. Через заданную точку в пространстве можно провести бесчисленное множество прямых линий параллельных заданной плоскости. Для получения единственного решения требуется какое-нибудь дополнительное условие. Например, искомая прямая должна быть параллельна плоскости треугольника АВС и параллельна плоскости проекций П₁ (дополнительное условие).

Рис. 3.15

Для решения задачи в плоскости треугольника АВС проведена одна из горизонталей и затем через точку К проведена прямая, параллельная этой горизонтали.

Из стереометрии известна теорема об условии перпендикулярности прямой к плоскости: прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости. Известно также, что прямая, перпендикулярная к плоскости, перпендикулярна ко всем прямым, лежащим в этой плоскости, в том числе к её линиям уровня.

Рис. 3.16

При построении проекций прямой перпендикулярной к плоскости, в качестве пересекающихся прямых этой плоскости берутся её линии уровня или следы плоскости, а не случайные прямые.

Пусть прямая К^Р (рис. 3.16). Проведем через точку А горизонталь h (АС) плоскости Р. Эти прямые образуют прямой угол (КА^АС), одна сторона которого АС параллельна плоскости П₁. Такой угол спроецируется на плоскость П₁ без искажения А₁К₁^h₁(А₁С₁). Но так как h₁||Р₁, то А₁К₁^Р₁. Проведем фронталь f(АВ) плоскости Р: АК^f(АВ) и А₂К₂^f₂(А₂В₂), так как f||П₂. Но f₂ (А₂В₂) || Р₂, поэтому А₂К₂^Р₂.

Итак условие построения модели взаимно перпендикулярных прямых и плоскости: если АК^Р и (h, f)ÎР, то А₁К₁^h₁ и А₂К₂^f₂.

Выводы: если прямая перпендикулярна к плоскости, то горизонтальная проекция её перпендикулярна к горизонтальным проекциям горизонталей, а фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальным проекциям фронталей этой плоскости.

Приведенное положение дает возможность решать ряд задач и, в частности, опустить или восстановить перпендикуляр к плоскости, решить обратную задачу – провести плоскость перпендикулярно прямой, определить расстояние от точки до плоскости (см. пример 7.8)

Дата добавления: 2013-12-13