Различают три основных типа краевых задач математической физики

Основные понятия теории уравнений математической физики

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

1⁰. Уравнение

(1)

где u - искомая функция, - независимые переменные, F – известная функция своих аргументов, называется дифференциальным уравнением в частных производных. Наивысший порядок частных производных, входящих в уравнение (1), называется порядком этого уравнения. Решением уравнения (1) в некоторой области D называется любая функция , необходимое число раз дифференцируемая и обращающая его в тождество.

Пример 1. Решить уравнение , где .

Решение. Исходное уравнение можно записать в виде , значит, производная зависит только от y, т.е. , где – произвольная дифференцируемая функция. Отсюда , где – произвольная дифференцируемая функция, зависящая только от x, а . Таким образом, решением рассматриваемого уравнения является любая функция вида , где и – произвольные дифференцируемые функции.□

Пример 2. Найти решение уравнения , удовлетворяющее условию .

Решение. Общее решение данного уравнения имеет вид . Подставим в полученное выражение , будем иметь . Отсюда . □

2⁰. Классификация линейных уравнений второго порядка. Рассмотрим уравнение

, (3)

I. Пусть в уравнении (3) – постоянные коэффициенты. Для того, чтобы привести уравнение (3) к каноническому виду применяют способ характеристик: составляется уравнение

, (4)

так называемое уравнение характеристик, которое распадается на два уравнения. Разделим уравнение (4) на и произведем замену , тогда уравнение (4) примет вид

. (5)

1) Если , то уравнение эллиптического типа. Для этого уравнения интегралы уравнения характеристик имеют вид , где и – действительные функции. С помощью подстановки , уравнение (3) приводится к каноническому виду

,

где – новые переменные; – известная функция.

2) Если , то уравнение гиперболического типа. Тогда уравнение характеристик имеет два интеграла: , . С помощью замены переменных , дифференциальное уравнение (3) приводится к каноническому уравнению вида .

3) Если , то уравнение параболического типа. Тогда уравнение характеристик дает лишь один интеграл . В этом случае замена переменных , , где – некоторая функция, для которой . Тогда уравнение приводится к каноническому виду или , где ­– известные функции.

После указанных подстановок будем иметь уравнение

, (5)

где

Можно заметить, что для уравнений: 1) эллиптического типа , 2) гиперболического типа , 3) параболического типа или .

II. Если в уравнении (3) коэффициенты переменные, то для него выделяются области эллиптичности, гиперболичности и параболичности.

Пример 3. Привести к каноническому виду дифференциальное уравнение

.

Решение. В данном случае , , . Так как , то данное уравнение является уравнением гиперболического типа. Составим уравнение характеристик: . Оно распадается на два: , . Интегрируя их, соответственно получаем: , . Вводим новые переменные по формулам , .
Вычислив , получим:

Подставив коэффициенты в уравнение (5), получим . □

Пример 4. Привести к каноническому виду уравнение .

Решение. Здесь , , , , т.е. имеем уравнение эллиптического вида. Уравнение характеристик запишется в виде: , получаем два семейства мнимых характеристик: и . Производя замену переменных , , имеемПодставив найденные значения в (5), получим . □

3⁰. Постановка задач для уравнений математической физики. В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых общее решение выражается через определенные функции, в случае уравнений в частных производных вид функций, через которые выражается их решение, не конкретизирован (с помощью одних только уравнений эти функции найти нельзя).

Для того, чтобы из бесчисленного множества решений дифференциального уравнения выделить частное решение, описывающее конкретный физический процесс, необходимо задать дополнительные условия. Обычно эти условия следуют из физической постановки задачи и физического смысла искомой функции. Чаще всего такими дополнительными условиями являются начальные условия (если искомая функция зависит от времени) и граничные (или краевые) условия. Начальные условия задают значение функции и определенного числа ее производных в начальный момент времени .

1. Задача Коши для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются начальные условия; область G, где происходит процесс, описываемый дифференциальным уравнением, есть пространство ; граничные условия отсутствуют.

2. Краевая задача для уравнений эллиптического типа: задаются граничные условия на границе S области G; начальные условия отсутствуют.

3. Смешанная задача для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются и начальные, и граничные условия, .

§ 2. Основные уравнения математической физики

1⁰. Уравнение колебания струны. Постановка задачи. Струна длиной l натянута с силой и находится в прямолинейном положении равновесия, – непрерывная линейная плотность внешних сил, – непрерывная линейная плотность струны. В момент времени точкам струны сообщаются начальные отклонения и скорости. Вывести уравнение малых поперечных колебаний струны при , если концы струны

а) закреплены жестко;

б) свободны, т.е. могут свободно перемещаться по прямым, параллельным направлению отклонения u;

в) двигаются в поперечном направлении по заданным законам.

Сопротивлением среды и действием силы тяжести пренебречь.

Решение. Струной называется тонкая нить, которая может свободно изгибаться. Пусть струна в плоскости осуществляет поперечные колебания около своего положения равновесия, которое совпадает с осью . Величину отклонения струны от положения равновесия в момент времени обозначим через . Рассматриваются только малые колебания струны. Тогда при постоянной плотности функция удовлетворяет дифференциальному уравнению.

Уравнение вынужденных колебаний струны, если , то уравнение (1) принимает вид

,

где – постоянная, – сила начального натяжения струны, – непрерывная линейная плотность внешних сил.

Кроме того, функция удовлетворяет начальным условиям

, , где , – заданные функции.

Приведем краевые условия:

а) Если концы струны жестко закреплены, то , .

б) В случае свободных концов имеют место условия , .

в) , , где функции определяют закон движения концов струны .

Пример 1. Задача о колебаниях мембраны (свободно изгибающейся натянутой пленки), занимающей в положении равновесия некоторую область D в плоскости Oxy, ограниченную замкнутой кривой L. Рассмотреть только малые поперечные колебания мембраны в предположении, что она находится под действием равномерного натяжения T, приложенного к краям мем­браны.Величину смещения точки мембраны от положения равновесия в момент времени обозначим через . Тогда функция удовлетворяет уравнению

Дифференциальное уравнение поперечных колебаний мембраны в случае однородной мембраны , уравнение малых колебаний мембраны можно записать в виде

, (7)

где , . где – поверхностная плотность мембраны, -- внешняя сила

Если внешняя сила отсутствует, т.е. , то из (7) получаем уравнение свободных колебаний однородной мембраны

.

Как и при рассмотрении колебаний струны, для полного определения движения мембраны нужно задать в начальный момент времени смещение и скорость всех точек мембраны:

, .

Далее, так как на контуре L мембрана закреплена, то должно быть при любом . □

Уравнение теплопроводности. Рассмотрим в с декартовой системой координат OXYZ твердое тело V. Пусть температура этого тела в любой точке в момент времени t определяется функцией . Тогда производные характеризуют скорость изменения температуры в момент времени t в направлении осей X, Y и Z соответственно. Тело V предполагается изотропным, т.е. его тепловые свойства не зависят от направления. Известно, что теплота переходит из более нагретых мест в менее нагретые. Обозначим коэффициент теплопроводности тела, а c – его удельную теплоемкость.

Уравнение теплопроводности тела:

. (9)

где .

Уравнение (9) получено в предположении, что внутри тела отсутствуют тепловые источники. Если же плотность тепловых источников (количество поглощенной или выделенной теплоты за единицу времени в единице объема тела) в теле V равна , то уравнение теплопроводности принимает вид

, (10)

где .

Уравнения (9) и (10) получены при условии отсутствия теплового обмена между поверхностью тела и внешней средой.

Для тела V граничные условия определяются на его поверхности. Поскольку вдоль поверхности S тело V граничит с окружающей средой, то в каждой точке S необходимо задать либо температуру u, либо тепловой поток (n – нормаль к S), либо теплообмен (перепад температур) с окружающей средой. Таким образом, граничное условие может быть задано одним из возможных способов:

1) , где – известная функция точек поверхности S и времени t;

2) , где – заданная функция точек поверхности S и времени t;

3) при теплообмене с окружающей средой граничные условия в общем случае имеют вид

где – константы; Ф – заданная функция.

Начальные условия для уравнения теплопроводности запишутся ,

где – заданная функция точек тела V.

3⁰. Уравнение диффузии. Диффузией называется распространение вещества в какой-либо среде, обусловленное неравномерностью в ней его концентрации и происходящее лишь за счет теплового движения молекул.

Уравнение диффузии соли в растворителе.

Уравнение диффузии нейтронов в реакторе.

4⁰. Телеграфные уравнения.

§ 3. Методы решения уравнений математической физики

1⁰. Метод Д’Аламбера. Одним из широко используемых способов решения уравнения колебаний струны является метод характеристик, называемый в этом случае методом Д`Аламбера. Рассмотрим задачу Коши для бесконечной однородной струны: требуется найти решение волнового уравнения

(1)

при начальных условиях

; (2)

(рассматриваются только свободные колебания струны).

Формула Д ’ Аламбера для решения задачи Коши для бесконечной струны:

. (3)

2⁰. Метод Фурье решения волнового уравнения. Рассмотрим задачу колебаний конечной струны, закрепленной в точках и , состоящую в решении волнового уравнения (1), , при начальных условиях

(4)

и при краевых условиях

. (5)

Метод Фурье (разделения переменных) заключается в отыскании решения в виде .

Можно показать, что решением уравнения (1) будет функция

. (6)

где, учитывая начальные условия (4),

(7)

3⁰. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности методом пребразования Фурье. Рассмотрим задачу Коши о распространении теплоты в неограниченном стержне, боковая поверхность которого теплоизолирована. В математической постановке она сводится к отысканию решения однородного уравнения теплопроводности

(8)

удовлетворяющего начальному условию

. (9)

Решение, задачи Коши о теплопроводности бесконечного стержня, имеет вид

(10)

Пример 7. Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию и краевому условию .

Решение. Имеем дифференциальное уравнение теплопроводности для полубесконечного стержня. Решение, удовлетворяющее указанным условиям, имеет вид . □

В случае стержня, ограниченного с обоих концов и , смешанная задача состоит в том, чтобы найти решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию и двум краевым условиям

1) . В этом случае частное решение ищется в виде ряда

где ;

2) . В этом случае частное решение ищется в виде ряда

где .

4⁰. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге методом Фурье. Уравнение теплопроводности для стационарного случая обращается в уравнение Лапласа . Здесь u есть функция только точки и не зависит от времени. Для задач, относящихся к плоским фигурам, уравнение Лапласа записывается в виде

. (11)

Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге формулируется следующим образом: найти функцию , удовлетворяющую уравнению (11) внутри круга радиусом a и граничному условию на границе этого круга, где f – заданная гладкая функция.

Введем полярную систему координат по формулам , , , с началом в центре круга. Тогда . Решением задачи Дирихле в круге будет функция (13)

Из краевого условия получаем условия для определения коэффициентов

(14)

Задача. Найти решение уравнения Лапласа в области, заключенной между двумя концентрическими окружностями радиусов и с центрами в начале координат, удовлетворяющее граничным условиям .

Граничные условия в полярных координатах примут вид .

Решение задачи ищем в виде . Удовлетворим граничным условиям:, . Отсюда для ; для , для .

Из этих двух серий соотношений (линейной алгебраической системы уравнений) определяем коэффициенты: а) , б) ,

в) все остальные коэффициенты равны нулю. Итак, , или в декартовых координатах , , .

Дата добавления: 2013-12-13