Линейная зависимость трех геометрических векторов

Определение. Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.

Теорема 2. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Доказательство. 1). Пусть векторы , и линейно зависимы, т.е. существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому вектору:

Пусть для определенности . Тогда

.

Обозначим: .

Имеем

.

Возьмем произвольную точку и приложим к ней векторы и . Тогда - это диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах. Следовательно, , и параллельны одной плоскости, т.е. компланарны.

2) Докажем обратное. Пусть , и компланарны. Если среди векторов есть два коллинеарных, то они линейно зависимы (по предыдущей теореме). Пусть никакие два вектора не коллинеарны. Приложим эти векторы к общему началу.

Через точку проведем прямые, параллельные векторам и . Точки и - это точки пересечения этих прямых с прямыми и . Тогда

.

Так как и коллинеарны, то . Аналогично, . Получаем

,

т.е. векторы , и линейно зависимы.

Попутно мы доказали следующее утверждение.

Утверждение. Если и неколлинеарны, то для любого вектора , лежащего в одной плоскости с векторами и , найдутся числа и такие, что .

Дата добавления: 2013-12-13