Отражение и преломление волн на конце линии

Стр.20-29 Чайкина Л.П.

Коэффициент отражения и преломления, зависимость между углами падения и преломления.

Сущность явления преломления, влияния фазовой скорости на направление распространения электромагнитной волны.

Угол падения и угол отражения волны.

Сущность явления отражения

Основные свойства электромагнитных волн: преломление, отражение, интерференция, дифракция и рефракция.

Тема 1.2.Преломление и отражение волн, коэффициент отражения и преломления.

ЗАНЯТИЕ 3

Особенности Электромагнитных волн, законы их возбуждения и распространения описываются уравнениями Масквелла. Если в какой-то области пространства существуют электрические заряды е и токи I, то изменение их со временем t приводит к излучению Электромагнитных волн На скорость распространения электромагнитных волн существенно влияет среда, в которой они распространяются. Электромагнитные волны могут испытывать преломление, в реальных средах имеет место дисперсия волн, вблизи неоднородностей наблюдаются дифракция волн, интерференция волн (прямой и отражённой), полное внутреннее отражение и другие явления, свойственные волнам любой природы.

Как уже указывалось, возможность видеть несветящиеся предметы связана с тем обстоятельством, что всякое тело частично отражает, а частично пропускает или поглощает падающий на него свет. Благодаря диффузному отражению и пропусканию свет, падающий на тело, рассеивается в разные стороны, и мы получаем возможность видеть тело с любой стороны.

В частности, благодаря рассеянному свету, хотя и слабому, мы видим отовсюду даже очень хорошие зеркала, которые должны были бы отражать свет только по одному направлению и, следовательно, быть заметными только по одному определенному направлению. Рассеянный свет возникает в этом случае из-за мелких дефектов поверхности, царапин, пылинок и т. д. В настоящей главе мы рассмотрим законы направленного (зеркального) отражения и направленного пропускания (преломления) света.

Для того чтобы имело место зеркальное отражение или преломление, поверхность тела должна быть достаточно гладкой (не матовой), а его внутренняя структура — достаточно однородной (не мутной). Это означает, что неровности поверхности, равно как и неоднородности внутреннего строения, должны быть достаточно малы. Как и во всяком физическом явлении, выражение «достаточно мало» или «достаточно велико» означает малое или большое по сравнению с какой-то другой физической величиной, имеющей значение для изучаемого явления. В данном случае такой величиной является длина световой волны. Ддлина световой волны зависит от окраски светового пучка и имеет значение от 400 нм (для фиолетового цвета) до 760 нм (для красного цвета). Таким образом, для того чтобы поверхность была оптически гладкой, а тело оптически однородным, необходимо, чтобы неровности и неоднородности были значительно меньше микрометра.

Примером плоской поверхности может служить граница раздела воздуха и какой-нибудь жидкости в широком сосуде. Соответствующая полировка твердых тел также позволяет получать весьма совершенные плоские поверхности, среди которых металлические поверхности выделяются своей способностью отражать много света. Из стекла легко можно сделать плоские пластинки, которые затем покрываются слоем металла, в результате чего получаются обычные зеркала.

Рассмотрим следующий простой опыт. Направим, например, узкий пучок лучей на поверхность воды в большом сосуде (рис. 1). Мы обнаружим, что часть света отразится от поверхности воды, другая часть пройдет из воздуха в воду. Для того чтобы падающий луч SO, отраженный луч OR и прошедший в воду луч OD были лучше видны, рекомендуется слегка запылить воздух над сосудом (например, дымом), а в воде, заполняющей сосуд, растворить немного мыла, благодаря чему вода станет слегка мутной. На опыте видно, что вошедший в воду луч не является простым продолжением луча, падающего на границу раздела, а испытывает преломление.

При изучении данного явления нас будут интересовать, во-первых, направления отраженного и преломленного лучей и, во вторых, доля отраженной световой энергии и энергии, прошедшей из первой среды во вторую.

Рассмотрим вначале отраженные лучи. Накроем поверхность раздела (зеркало) сверху непрозрачной цилиндрической поверхностью АСВ, которую можно сделать, например, из плотной бумаги (рис. 2, а). На дуге АСВ проделаем небольшие отверстия, расположенные, например, через каждые 5°. Тогда окажется, что если луч света пропущен в одно из этих отверстий и направлен по радиусу

Рис. 1Преломление и отражение света при падении луча на поверхность воды
дуги АСВ к центру О, то после отражения он выйдет из [прибора через симметричное относительно перпендикуляра NO отверстие в цилиндрическом колпаке, покрывающем зеркало. С какой бы точностью этот опыт ни осуществлялся, на самом совершенном угломерном инструменте результат его остается тем же. Этот надежно установленный результат можно формулировать в виде следующего закона отражения света: луч падающий, луч отраженный и перпендикуляр к отражающей поверхности лежат

Рис. 2. Измерение угла отражения (а) и преломления (б)
в одной плоскости, причем угол отражения луча равен углу падения.
Измерение угла, образуемого преломленным лучом [с перпендикуляром к поверхности раздела (угла преломления), можно проделать тем же способом, какой мы использовали при измерении угла отражения. Для этого нужно продолжить цилиндрическую поверхность ACB во вторую среду (рис. 2, б). Точные измерения угла падения i и угла преломления r приводят к следующему закону преломления: луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр к поверхности раздела лежат в одной плоскости. Угол падения и угол преломления связаны соотношением

где показатель преломления n есть постоянная величина, не зависящая от угла падения и определяющаяся оптическими свойствами граничащих сред.

Углы падения i, отражения i' и преломления r принято измерять от перпендикуляра к поверхности раздела до соответствующего луча. Первые попытки найти закон преломления были сделаны известным александрийским астрономом Клавдием Птолемеем (умер около 168 г.) почти два тысячелетия назад. Однако точность измерений в то время была еще недостаточно высока, и Птолемей пришел к выводу, что отношение углов падения и преломления при заданных средах остается постоянным. Заметим, что для получения правильной зависимости между углом падения и углом преломления нужно измерять эти углы с точностью до нескольких минут; это особенно существенно при небольших углах падения и преломления. При грубых измерениях при небольших углах вместо постоянства отношения синусов углов легко прийти к неправильному выводу о постоянстве отношения самих углов, как и случилось с Птолемеем. В правильной форме закон преломления был установлен только спустя полторы тысячи лет после Птолемея голландским физиком Виллебрордом Снеллиусом (1580—1626) и, по-видимому, независимо от него французским физиком и математиком Рене Декартом (1596—1650).

Перейдем теперь к вопросу о количестве отраженной световой энергии. Мы знаем, что изображение нашего лица в хорошем зеркале всегда более светлое, чем, например, в поверхности воды озера или колодца. Это связано с тем уже неоднократно упоминавшимся обстоятельством, что не вся световая энергия, падающая на границу раздела двух сред, отражается от нее: часть света проникает через границу раздела во вторую среду и проходит через нее насквозь или частично поглощается в ней.

Доля отраженной световой энергии зависит от оптических свойств граничащих между собой сред и от угла падения. Если, например, свет падает на стеклянную пластинку перпендикулярно к ее поверхности (угол падения равен нулю), то отражается всего только около 5% световой энергии, а 95% проходит через границу раздела.Закон отражения и закон преломления справедливы только в том случае, если поверхность раздела по своим размерам значительно превосходит длину волны света.

Полученные выше выражения для напряжения и тока в виде суммы прямой и обратной волн записаны в предположении, что прямая и обратная волны заданы одновременно в одной и той же точке линии (при t = 0 и x = 0). Однако обычно эти волны возникают в различных точках линии и в разные моменты времени. Так, общая картина переходного процесса в цепи, в которой сопротивление нагрузки R питается от источника ЭДС с напряжением U ₀ через линию (рис. 3), состоит в следующем.

Рис. 3

При замыкании ключа в начале линии при t = 0 возникает прямая волна с u _ = U ₀и i _ = u _/ Z, которая со скоростью v начинает распространяться к нагрузке. В начале процесса при 0 < t < l / v существует только прямая волна. При t ₁ = l / v, когда она достигает конца линии, возникнет обратная волна u _, i _ = – u _/ Z, которая начнет распространяться от нагрузки к генератору. При l / v < t < 2 l / v в линии существуют прямая и обратная волны, и напряжения и токи в отдельных точках линии определяются их суммированием. Новое отражение произойдет при t = t ₂ = 2 l / v, когда обратная волна дойдет до входных зажимов линии. При отсутствии потерь в линии и ее конечных элементах этот процесс имеет незатухающий характер и продолжается бесконечно долго. В реальных условиях волны, возникающие при многократных отражениях, затухают из-за потерь, и устанавливается стационарный режим.

Учет волн, возникающих в ходе многократных отражений, представляет сложную задачу и может оказаться более трудоемким, чем решение операторным методом. Однако на практике обычно наибольший интерес представляет рассмотрение именно первого отражения, в результате которого напряжения и токи могут достигнуть максимальных значений.

Установим связь между характеристиками падающей и отраженной волн при включении на конце линии резистора с сопротивлением R (см. рис. 26.2). Напряжение u на резисторе и его ток i складываются из падающей и отраженной волн: u = u _ + u _; i = i _ + i _. Входящие сюда величины связаны соотношениями: u = Ri; u _ = i _ Z; u _ = – i _ Z, поэтому связь между напряжениями падающей и отраженной волн можно записать в виде u = u _ + u _ = R (u _/ Z – u _ / Z). Отсюда находим u _(1 + R / Z) = u _(R / Z – 1) или

Величина q_u = (R – Z)/(R + Z) — коэффициент отражения по напряжению — определяет соотношение между напряжениями падающей и отраженной волн. При изменении нагрузки линии в пределах 0 < R <  значение коэффициента q_u изменяется в пределах от – 1 до 1 — по модулю отраженная волна не может превысить падающую. Эти предельные значения достигаются для короткозамкнутой и разомкнутой на конце линии соответственно. При согласованной нагрузке (R = Z) q_u = 0, и отраженная волна вообще не возникает. В этом случае рассмотренный выше переходный процесс в схеме (рис. 3) заканчивается в момент времени t = t ₁ = l / v с приходом прямой волны к нагрузке. Таким образом, в отличие от цепей с сосредоточенными параметрами, переходные процессы в цепях с распределенными параметрами могут быть ограниченными во времени.

Используя связь между токами и напряжениями отдельных волн, можно аналогично ввести коэффициент отражения по току

Для определения результирующих напряжения и тока на нагрузке u и i, возникающих после однократного отражения, по заданному напряжению падающей волны u _ воспользуемся записанными выше связями u, u _ и u _, исключая из них характеристики отраженной волны:

Отсюда следует, что результирующие величины на нагрузке u и i можно определить с помощью эквивалентной схемы (рис.4), содержащей последовательное соединение активного сопротивления, равного волновому сопротивлению линии Z, и сопротивления нагрузки, включаемой под удвоенное напряжение падающей волны (правило эквивалентной волны).

Рис. 4

Из полученных связей следует, что в результате однократного отражения суммарное напряжение u может не более чем удвоиться по сравнению с u _. Легко установить, что то же справедливо и в отношении результирующего тока: при однократном отражении i  2 i _.

Подобные соотношения между характеристиками падающей, отраженной волны и результирующими токами и напряжениями на конце линии справедливы и при нагрузке более сложного вида. При этом в качестве R в формулах для коэффициентов отражения q_u и q_i и в схеме на рис. 4 для расчета результирующих величин фигурирует входное сопротивление нагрузочного двухполюсника R = R _вх.

При расчете отражений в схеме сопряжения одной линии с волновым сопротивлением Z ₁ с другой, имеющей волновое сопротивление Z ₂, с включенным в месте их стыка Г-образным четырехполюсником (рис. 5, а) для определения параметров отраженной волны в качестве сопротивления нагрузки следует использовать величину R _вх = R ₁ + R ₂/(R ₂ + Z ₂), в котором влияние второй линии учитывается активным сопротивлением, равным ее волновому сопротивлению Z ₂.

Рис. 5

Для определения результирующих величин на выходе линии 1 используем эквивалентную схему (рис. 5, б). Эта же схема дает возможность определить характеристики преломленной волны u _ и i _2, распространяющейся во второй линии.

Схема, изображенная на рис. 5, а, позволяет обеспечить отсутствие отраженной волны в месте стыка двух линий с отличающимися волновыми сопротивлениями (Z ₁  Z ₂). Так, при Z ₂ < Z ₁ можно принять R ₂ = и условие q_u = 0 выполняется при R ₁ + Z ₂ = Z ₁, т. е. R ₁ = Z ₁– Z ₂. Если, наоборот, Z ₂ > Z ₁, то для согласования линии на выходе используем сопротивление R ₂ при R ₁ = 0. В этом случае из условия q_u = 0 имеем R ₂ Z ₂ /(R ₂ + Z ₂) = Z ₁, откуда найдем значение R ₂ = Z ₁ Z ₂ /(Z ₂– Z ₁), обеспечивающее согласование.

Все приведенные выше соотношения можно использовать и для расчета отражения и преломления волн от нагрузки линии или четырехполюсника на стыке линий, включающих емкости и индуктивности. При нулевых начальных условиях соотношения для коэффициентов отражения сохраняют свою форму для операторных изображений напряжения и тока:

где Z _н(s) – входное операторное сопротивление оконечного сопротивления линии. Входящие в состав нагрузки первой линии другие линии учитываются в Z _н(s)активными сопротивлениями, равными их волновым сопротивлениям, подобно тому, как на рис. 5. Для определения отраженных волн при сложной форме падающей волны по заданному закону u _(t) находим его операторное изображение U _(s). Переход от изображения U _(s) = U _(s) q_u (s) к оригиналу u _(t) осуществляется с помощью теоремы разложения.

При использовании эквивалентной схемы (см. рис. 4) результирующие выражения тока и напряжения определяют по их операторным изображениям:

Для анализа эквивалентной схемы можно использовать и любые другие методы анализа переходных процессов (например, интегрирование уравнений состояния).

Рассмотрим в качестве примера процесс отражения волны от конца линии, замкнутой на параллельное соединение резистора R _н и емкости C. Операторное сопротивление нагрузки линии равно , а операторный коэффициент отражения по напряжению

В частном случае при нагрузке на чистую емкость (рис. 6., а), в последнем выражении следует принять R _н =  и коэффициент отражения по напряжению равен q_u = (1 – sZC)/(1 + sZC). При постоянной во времени падающей волне u _ = U ₀ имеем U _(s) = U ₀/ s; U _(s) = U ₀(1 – s )/[ s (1 + s )], где  = ZC. Применяя теорему разложения, найдем u _(t) = U ₀(1 – 2 e ^{- t /}).

Рис. 6.

Полученное выражение относится к оконечной точке линии. Отсчет времени в нем ведется от момента t = 0, к которому падающая волна достигает конечных зажимов линии 11 '. Для нахождения выражения u _(x ', t), определяющего отраженную волну в произвольной точке, находящейся на расстоянии x ' от конца линии, в последнем выражении следует заменить аргумент t на t – x '/ v, что учитывает запаздывание изменений напряжения на время пробега волны x '/ v до данной точки линии. Для линии с потерями следует также учесть затухание волны, выражаемое экспоненциальным множителем e ^{– x '}. В результате получим

и

На рис. 6, в и г приведены графики распределения результирующих напряжения и тока, учитывающие прямую и отраженную волны в линии без потерь, замкнутой на емкость. В начальный момент напряжение на конце линии спадает до нуля, а ток достигает удвоенного значения 2 i _ — отраженные волны имеют такой же характер, как при короткозамкнутой линии. По мере зарядки конденсатора напряжение на нем увеличивается и в пределе t   достигает удвоенного значения 2 u _, ток в конце линии уменьшается до нуля. В этом предельном режиме заряженный конденсатор ведет себя как разрыв в конце линии, и отраженные волны такие же, как и в случае линии, разомкнутой на конце.

Эквивалентная схема для расчета результирующих величин u и i в конце линии приведена на рис.6, б. Ее элементарный вид позволяет записать непосредственно: u = 2 u _(1 – e ^{– t/ }), где u _ = U ₀,  ZC, i = C du_C/dt = 2 u _ e ^{– t/ }/ Z. Нетрудно убедиться, что эти выражения соответствуют результатам, полученным ранее при суммировании найденных ранее выражений для падающей и отраженной волн: u = u _ + u _; i = i _ + i _.

Дифракция (от лат. diffractus - разломанный) волн, явления, наблюдаемые при прохождении волн мимо края препятствия, связанные с отклонением волн от прямолинейного распространения при взаимодействии с препятствием. Из-за Дифракции волны огибают препятствия, проникая в область геометрической тени. Именно Дифракция звуковых волн объясняется возможность слышать голос человека, находящегося за углом дома. Дифракцией радиоволн вокруг поверхности Земли объясняется приём радиосигналов в диапазоне длинных и средних радиоволн далеко за пределами прямой видимости излучающей антенны.

Дифракция волн - характерная особенность распространения волн независимо от их природы. Объяснить Дифракцию в первом приближении можно, применив принцип Гюйгенса - Френеля. Согласно этому принципу, рассматривая распространение какой-либо волны, можно каждую точку среды, которой достигла эта волна, считать источником вторичных волн. Поэтому, поставив на пути волн экран с малым отверстием (диаметр порядка длины волны), получим в отверстии экрана источник вторичных волн, от которого распространяется сферическая волна, попадая и в область геометрической тени. Если имеется экран с двумя малыми отверстиями или щелями, дифрагирующие волны накладываются друг на друга и в результате интерференции волн дают чередующееся в пространстве распределение максимумов и минимумов амплитуды результирующей волны с плавными переходами от одного к другому. С увеличением количества щелей максимумы становятся более узкими. При большом количестве равноотстоящих щелей (дифракционная решётка) получают резко разделённые направления взаимного усиления волн.

Дифракция волн существенно зависит от соотношения между длиной волны l и размером объекта, вызывающего Дифракцию Наиболее отчётливо Дифракция обнаруживается в тех случаях, когда размер огибаемых препятствий соизмерим с длиной волны. Поэтому легко наблюдается Дифракция звуковых, сейсмических и радиоволн, для которых это условие обычно всегда выполняется (l ~ от м до км), и гораздо труднее наблюдать без специальных устройств дифракцию света (l ~ 400-750 нм). Эта же причина приводит к многим техническим трудностям при изучении волновых свойств др. объектов.
Дифракция волн сыграла большую роль в изучении природы микрочастиц. Экспериментально было установлено, что при прохождении микрочастиц (например, электронов) через среду (газ, кристалл) наблюдается Дифракция Дифракция частиц является следствием того, что микрочастицы обладают двойственной природой (так называемым корпускулярно-волновым дуализмом): в одних явлениях поведение микрочастиц может быть объяснено на основе представления о частицах, в других, как, например, в явлениях Дифракция, на основе представления о волнах. Согласно квантовой механике, каждой частице соответствует так называемая волна де Бройля, длина которой зависит от энергии частицы. Так, электрону с энергией 1 эв соответствует волна де Бройля длиной того же порядка, что и размер атома. Дифракция электронов и нейтронов широко пользуются для изучения строения вещества.

. Интерференцией волн называется явление наложение двух и более волн, при котором в зависимости от соотношения между фазами этих волн происходит устойчивое во времени их взаимное усиление в одних точках пространства и ослабление в других.

В пространстве всегда найдутся такие точки, в которых разность фаз складываемых колебаний равна величине , где k – целое число, т.е. волны (от разных источников) приходят в такие точки в фазе. В них будет наблюдаться устойчивое, неизменно продолжающееся все время усиление колебаний частиц. Найдутся в пространстве, где распространяется несколько волн, и такие точки, где разность фаз будет равна , т.е. волны приходят в эти точки в противофазе. В таких точках пространства будет наблюдаться устойчивое ослабление колебаний частиц.

Устойчивая интерференционная картина возникает только при наложении таких волн, которые имеют одинаковую частоту, постоянную во времени разность фаз в каждой точке пространства. Волны, удовлетворяющие этим условиям и источники, создающие такие волны, называются когерентными. Плоские синусоидальные волны, частоты которых одинаковы, когерентны всегда.

Интерференция волн это сложение в пространстве двух (или нескольких) волн, при котором в разных точках получается усиление или ослабление амплитуды результирующей волны. Интерференция (физич.) характерна для всяких волн независимо от их природы: для волн на поверхности жидкости, упругих (например, звуковых) волн, электромагнитных (например, радиоволн или световых) волн.

Если в пространстве распространяются две волны, то в каждой точке результирующее колебание представляет собой геометрическую сумму колебаний, соответствующих каждой из складывающихся волн. Этот так называемый принцип суперпозиции соблюдается обычно с большой точностью и нарушается только при распространении волн в какой-либо среде, если амплитуда (интенсивность) волн очень велика (см. Нелинейная оптика, Нелинейная акустика). Интерференция (физич.) волн возможна, если они когерентны (см. Когерентность).

Простейший случай Интерференции (физич.) — сложение двух волн одинаковой частоты при совпадении направления колебаний в складывающихся волнах. В этом случае, если колебания происходят по синусоидальному (гармоническому) закону, амплитуда результирующей волны в какой-либо точке пространства

где A ₁ и A ₂ — амплитуды складывающихся волн, а j — разность фаз между ними в рассматриваемой точке. Если волны когерентны, то разность фаз j остаётся неизменной в данной точке, но может изменяться от точки к точке и в пространстве получается некоторое распределение амплитуд результирующей волны с чередующимися максимумами и минимумами. Если амплитуды складывающихся волн одинаковы: A ₁ = A ₂, то максимальная амплитуда равна удвоенной амплитуде каждой волны, а минимальная — равна нулю. Геометрические места равной разности фаз, в частности соответствующей максимумам или минимумам, представляют собой поверхности, зависящие от свойств и расположения источников, излучающих складывающиеся волны. В случае двух точечных источников, излучающих сферические волны, эти поверхности — гиперболоиды вращения.

Другой важный случай Интерференции (физич.) — сложение двух плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях (например, прямой и отражённой). В этом случае получаются стоячие волны.

Среднее за период значение потока энергии в волне пропорционально квадрату амплитуды. Поэтому, как следует из выражения для результирующей амплитуды, при Интерференция (физич.) происходит перераспределение потока энергии волны в пространстве. Характерное для Интерференция (физич.) распределение амплитуд с чередующимися максимумами и минимумами остаётся неподвижным в пространстве (или перемещается столь медленно, что за время, необходимое для наблюдений, максимумы и минимумы не успевают сместиться на величину, сравнимую с расстоянием между ними) и его можно наблюдать только в случае, если волны когерентны. Если волны не когерентны, то разность фаз j быстро и беспорядочно изменяется, принимая все возможные значения, так что среднее значение cos j = 0. В этом случае среднее значение амплитуды результирующей волны оказывается одинаковым в различных точках, максимумы и минимумы размываются и интерференционная картина исчезает. Средний квадрат результирующей амплитуды при этом равен сумме средних квадратов амплитуд складывающихся волн, т. е. при сложении волн происходит сложение потоков энергии или интенсивностей.

Описанные выше основные черты явления Интерференция (физич.) в одинаковой степени относятся как к упругим, так и электромагнитным волнам. Однако в то время как в случае звуковых волн и радиоволн легко обеспечить их когерентность (например, питая разные громкоговорители или антенны одним и тем же током), когерентные световые пучки можно получить только от одного и того же источника света, применяя специальные методы.

Дата добавления: 2013-12-13